Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов (сопромату)

Задача. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения   пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу. Эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показаны на рис. 5.3.8, б – е, ж. Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а Radm = Ry = 240 МПа.

 Решение. Из приведенных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют

N(AB) = N = –1 кН; Мх(АВ) = Мх = 0,3 кН·м; Му(АВ) = Му = 1 кН·м;

Mz(AB) = Mz = 0,3 кН·м; Qz(AB) = Qz = 3 кН

(рис. 5.3.10, а). На рис. 5.3.10 показаны характерные точки 1–3 прямоугольного поперечного сечения.


У к а з а н и я. Задачи на кручение прямых брусьев некруглого поперечного сечения решаются методами теории упругости. При решении заданной задачи будем использовать приближенный метод, который заключается в следующем.

 Вводятся параметры: Ik = αb4 – геометрическая характеристика крутильной жесткости, Wk = βb3 – момент сопротивления при кручении. Коэффициенты α, β определяются по табл. 5.1 в зависимости от величины отношения k = h/b сторон прямоугольного поперечного сечения.

 При h/b > 10 можно пользоваться упрощенными формулами:

Ik = hb3/3, Wk = Ik /b = hb2/3.

 Наибольшие касательные напряжения от крутящего момента Мх будут возникать в середине длинных сторон (точка 3 в поперечном сечении, показанном на рис. 5.3.10, б)

  (а)

 Касательные напряжения в серединах коротких сторон прямоугольного сечения определяют по формуле

  (б)

 Касательные напряжения в угловых точках прямоугольного поперечного сечения равны нулю (рис. 5.3.10, б).

Таблица 5.1

h/b

α

β

γ

h/b

α

β

γ

1,0

1,5

2,0

3,0

0,140

0,294

0,457

0,790

0,208

0,346

0,493

0,801

1,000

0,859

0,795

0,793

4,0

6,0

8,0

10,0

1,123

1,789

2,456

3,123

1,150

1,789

2,456

3,123

0,745

0,743

0,742

0,742

 Рассмотрим поочередно три точки (1÷3). Будем учитывать только действие моментов Мх, Му, Mz, а действием нормальной N и поперечной Qz сил пренебрежем. Запишем условие прочности применительно к точке 1:

,

откуда определяем ширину поперечного сечения

  (в)

 Если предположить, что точка 2 (рис. 5.3.10) является опасной, то условие прочности по критерию максимальных касательных напряжений будет выглядеть следующим образом

откуда и находим ширину поперечного сечения

  (г)

Применяя III теорию прочности для точки 3

,

определяем третье возможное значение ширины бруса

  (д)

Применительно к рассматриваемой задаче для k = h/b = 2 из табл. 5.1 выписываем  β = 0,493; γ = 0,795 и по формулам (в), (г), (д) получаем

 

 

 

Из полученных трех значений ширины бруса выбираем наибольшее, следовательно, b = 2,26 см; h = 2b = 4,52 см. Площадь прямоугольного поперечного сечения будет равна А = 10,21 см2.

Аналогичный брус (рис. 5.3.8), но с круглым поперечным сечением был рассчитан в задаче 5.3.8, где был вычислен допускаемый диаметр круглого сплошного сечения d = 3,6 см, следовательно, его площадь поперечного сечения равна А =  

Задача 5.3.10. Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.11. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

 Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) диаметр d круглого сплошного поперечного сечения стального бруса, считая, что F = 1 кН, Radm = Ry = 240 МПа.


Ответ: d = 2,29 см.

 Задача 5.3.11. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения  пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.12. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а q = 5 кН/м, Radm = Ry = 240 МПа.

 У к а з а н и е. При решении задачи необходимо использовать указания, содержащиеся в задаче 5.3.9.

Ответ: b(3) = 1,5 см; h = 3 см.

Задачи 5.3.12; 5.3.13. Для пространственных стержней, представленных на рис. 5.3.13, 5.3.14, требуется построить эпюры крутящих и изгибающих моментов, поперечных сил.


Опорами пространственных брусьев являются подшипники, которые препятствуют линейным перемещениям в направлении двух осей z и у.


Ланшафтный дизайн

Информатика
Технологии
Гелиоэнергетика
Физика