Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов (сопромату)

Расчет толстостенных труб

В толстостенных трубах, нагруженных равномерным давлением, напряжения и деформации не изменяются вдоль оси трубы. При этом распределение напряжений и деформаций происходит одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к этой оси. По граням малого криволинейного элемента, выделенного в поперечном сечении трубы (рис. 5.5.1), действуют нормальные напряжения – радиальные σr и окружные σθ. Каждая точка трубы при ее деформации получает радиальное перемещение u. Величины напряжений σr и σθ, а также перемещения u зависят от расстояния r от рассматриваемой точки трубы до ее оси.

Если сплошная (не составная) труба с внутренним радиусом а и наружным радиусом b не имеет днищ и нагружена равномерным внутренним ра и наружным рb давлением, то величины σr, σθ и u определяются по формулам Ламе

   (5.5.1)

 Поскольку в точках толстостенных труб реализуется сложное (плоское) напряженное состояние, оценка прочности их производится на основе тех или иных критериев (теорий) прочности.

 Формулы Ламе используются, в частности, при расчете составных труб (рис. 5.5.2). В соответствии с решением А.В. Гадолина основные геометрические и силовые параметры таких труб определяются по формулам:

 радиальный натяг: , (5.5.2)

 внешний радиус внутренней трубы: , (5.5.3)

 давление от натяга:   (5.5.4)

 Условие прочности в наиболее напряженных точках составной трубы в соответствии с критерием наибольших касательных напряжений (III теория прочности) имеет вид

  (5.5.5)

 Задача 5.5.1. Для стальной составной трубы (рис. 5.5.2) заданы: внутренний радиус внутренней трубы а = 7см, внутреннее давление р = 100 МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3; модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Требуется:

  1) определить внешний радиус внутренней трубы b, внешний радиус наружной трубы с, радиальный натяг δ;

 2) проверить прочность сплошной трубы с внутренним радиусом а и внешним радиусом с, нагруженной внутренним давлением р, используя III теорию прочности;

 3) проверить прочность в опасных точках составной  трубы, нагруженной внутренним давлением р, используя III теорию прочности;

  4) определить радиальные перемещения точек внутреннего канала.

Решение. 1) Определение геометрических параметров b, c и δ.

Внешний радиус с наружной трубы определяется на основе условия прочности (5.5.5):

Внешний радиус b внутренней трубы определяется по формуле (5.5.3):

Радиальный натяг рассчитываем по формуле (5.5.2):

  2) Проверка прочности сплошной трубы с внутренним радиусом а и внешним радиусом с, нагруженной давлением р.

 Из теории расчета толстостенных труб известно, что и при нагружении внутренним давлением, и при нагружении внешним давлением опасными являются точки на внутреннем канале трубы.

Рассчитываем напряжения в точках 1 (рис. 5.5.2), используя формулы (5.5.1) и полагая в них b = c, pa = p, pb = 0, r = a:

По аналогии определяем в точках 2 и 3:

и в точке 4: 

  Эпюра распределения напряжений по толщине сплошной трубы с внутренним радиусом a и внешним радиусом c показана на рис. 5.5.3.

Условие прочности по III теории прочности имеет вид

В нашем случае в точке 1 трубы будет 

σmax = σθ = 203 МПа;  σmin = σr = –100 МПа.

Таким образом, получаем

  >Ry = 240 МПа.

 Условие прочности для сплошной трубы не выполняется.

 3) Проверка прочности в опасных точках составной трубы, нагруженной внутренним давлением р.

Вначале рассчитываем давление от натяга рк на поверхности контакта наружной и внутренней трубы, используя формулу (5.5.4)

Рассчитываем напряжения σr и σθ в точке 1 от действия натяга рк, используя формулы (5.5.1) и полагая в них pa = 0, pb = pk , r = a:

Рассчитаем суммарные напряжения σr и σθ в точке 1 от действия р и pk:

 

Проверяем прочность составной трубы в точке 1 по III теории прочности : 

Условие прочности для составной трубы выполняется.

 4) Определение радиальных перемещений точек 1 составной трубы.

Воспользуемся законом Гука для двухосного напряженного состояния

Задача 5.5.2. Для стальной составной трубы заданы: внутренний радиус внутренней трубы а = 5 см, внутреннее давление р = 200МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 300 МПа, модуль упругости материала стальной трубы Е = 2·105 МПа. Требуется определить внешний радиус внутренней трубы b, внешний радиус наружной трубы с, радиальный натяг δ (рис. 5.5.2).

Ответ: b = 8,66 см; с = 15 см; δ = 0,0086 см.

Совместное действие изгиба и кручения Для выявления опасного сечения при совместном действии изгиба и кручения строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов по правилам глав 3 и 4. Вопрос о прочности стержня в этом случае решается с помощью тех или иных критериев прочности

Задача. Подобрать диаметры вала на участках АВ и СD для коленчатого вала, нагруженного так, как показано на рис. 5.3.7. Использовать критерий наибольших касательных напряжений (dI) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), считая Radm =80 МПа. Принять F = 2 кН, а = 0,1 м.

Задача. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения   пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу. Эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показаны на рис. 5.3.8, б – е, ж. Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а Radm = Ry = 240 МПа.

Расчет кривых брусьев малой кривизны Если отношение высоты h кривого бруса к его радиусу кривизны Ro существенно меньше единицы (h/Ro < 0,2 ), то считается, что брус имеет малую кривизну. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы и к брусу малой кривизны.

Устойчивость сжатых стржней Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr. Определение критической силы при упругом продольном изгибе. Формула Эйлера. Формула Ясинского

Практические расчеты стержней на устойчивость

Задача. Для стального стержня с заданной формой поперечного сечения, сжатого силой N = 500 кН, требуется найти размеры поперечного сечения. Материал стержня – сталь C255. Длина стального стержня l = 4 м. Принять, что коэффициент условий работы .

Расчет на устойчивость систем с одной или двумя степенями свободы при помощи уравнений равновесия Задача . Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы.

Определение критических сил при помощи энергетического метода Энергетический метод основан на использовании теоремы Лагранжа – Дирехле о полной потенциальной энергии.


На главную