Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов (сопромату)

Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев в статически неопределимых задачах

 Статически неопределимыми системами называются системы, для которых реакции связей и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения перемещений, учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Способы составления уравнений перемещений будут рассмотрены на примерах решения различных задач.

 Задача 1.4.1. Задан стальной стержень, заделанный обоими концами и нагруженный силой F = 1000 Н (рис.1.4.1, а). Удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м3, модуль упругости – .

 Требуется построить эпюры нормальных сил и напряжений, а также определить перемещение сечения I – I.


Решение. Выбираем основную систему, которая должна представлять собой статически определимую неизменяемую систему. Основная система получается из заданной системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия неизвестными реакциями. Принятая основная система показана на рис. 1.4.1, б.

 Строим эпюру нормальных сил  для основной системы, для чего определяем нормальные силы в соответствующих сечениях (рис. 1.4.1, б):

 

 

 

 Определяем перемещение нижнего конца стального стержня основной системы:

  Таким образом, если в статически неопределимом брусе (рис. 1.4.1, а) убрать одну нижнюю опору, то нижнее опорное сечение переместится вниз на величину , но этого в реальном брусе не может быть, следовательно, на опоре В должна действовать опорная реакция RB, от которой будет возникать линейная деформация В, равная по величине , но противоположная по знаку:

  Уравнение перемещений будет иметь вид:

  или откуда находим RB = 857,16 Н.

  Опорная реакция RB вызывает в брусе сжатие, следовательно, эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции RB будет иметь вид прямоугольника (рис. 1.4.1, в).

 Для получения эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса (рис. 1.4.1, а) следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. 1.4.1, б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции RB (рис. 1.4.1, в). Сложение эпюр проводим, складывая значения нормальных сил двух эпюр в соответствующих точках (рис.1.4.1, г). После чего строится эпюра нормальных напряжений по формуле (1.2).

 Эпюра нормальных напряжений  показывает, что самое большое сжимающее нормальное напряжение будет в нижнем опорном сечении (КПа), а самое большое растягивающее напряжение – в верхнем опорном сечении (= 154,2 КПа). По эпюре нормальных сил находим опорную реакцию в верхней заделке – RС = 770,84 Н.

 Критерием правильности вычислений является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений, т.е.  или , где  – площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «плюс» (рис.1.4.1,д):

– площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «минус»:

  В нашем случае == 191,6, следовательно, расчет выполнен правильно.

  Определим перемещение сечения I – I (рис. 1.4.1, а), для чего применим метод сечений. Проведем сечение I – I на эпюре нормальных сил (рис.1.4.1, г) и отбросим нижнюю часть эпюры, тогда по оставшейся части эпюры определяем

  Перемещение  можно вычислить, если отбросить верхнюю часть эпюры нормальных сил:

 Получили одно и то же значение перемещений, но с разными знаками, что естественно, так как сечение I – I переместилось вниз, следовательно, верхняя часть бруса увеличила линейные размеры вдоль оси, а нижняя, наоборот уменьшила.

 Задача 1.4.2. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, защемленный обеими концами и нагруженный силами F1 =1 кН, F2 =0,5 кН (рис. 1.4.2), а также собственным весом с =78,5 кН/м3. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений.

 Определить перемещение сечения, находящегося на расстоянии 30 см от верхней опоры, если модуль упругости материала стержня .

 Ответ: RA = 327,2 Н; эпюры нормальных сил и напряжений представлены на рис. 1.1.3, б, в;

.

  Задача 1.4.3. Стержень с постоянной площадью поперечного сечения А нагружен сосредоточенными силами (рис. 1.4.3). Определить перемещения сечений I – I и II – II. Собственный вес стержня в расчете не учитывать.

 Ответ:

 Задача 1.4.4. Дан прямой стальной стержень кусочно-постоянного сечения, для которого а = 0,4 м, а площади поперечных сечений указаны на рис. 1.1.6, а. При учете действия только собственного веса стального стержня эпюры нормальных сил и напряжений имеют вид, показанный на рис. 1.1.6, б, в.

  Как изменятся эпюры нормальных сил и напряжений, если рассмотреть тот же стержень, но с защемленными обоими концами. Проверить правильность вычислений, используя критерий равенства площадей эпюры  с разными знаками. Найти поперечное сечение, где N = 0, = 0.

  Ответ: опорная реакция нижней опоры R = –9,83 кг, следовательно, соответствующие  значения эпюры N, показанной на рис. 1.1.6, б, необходимо сложить с величиной R = –9,83 кг.


Результат представлен на рис. 1.4.4, а. Эпюру  можно построить на основании полученной эпюры N по рис.1.4.4, а. Результат показан на рис.1.4.4, б;

 Задача 1.4.5. Определить нормальные напряжения в каждом участке стального стержня квадратного поперечного сечения, находящегося под воздействием сосредоточенных сил, направленных вдоль оси стержня. Размеры сторон квадратного поперечного сечения и величины сосредоточенных сил показаны на рис. 1.4.5. Собственный вес стержня не учитывать, а модуль продольной упругости принять .

 Ответ:  = 22,07 МПа;  = 58,57 МПа; = –12,65 МПа;

  = –68,22 МПа.

 Задача 1.4.6. Определить нормальные напряжения в опорных сечениях стержня постоянного поперечного сечения площадью А, заделанного обоими концами и находящегося под действием собственного веса, направленного вдоль оси стержня,   – удельный вес материала стержня. Длина стержня – l.

 Ответ:

 Задача 1.4.7. Определить нормальное напряжение в бетоне и арматуре железобетонной колонны, квадратное поперечное сечение которой показано на рис. 1.4.6, причем h = 30 см, модуль продольной упругости стали , а бетона тяжелого класса В 30 –

  В поперечном сечении колонны установлены четыре стержня диаметром 20 мм, следовательно, по справочнику принимаем, что общая их расчетная площадь поперечного сечения Аа = 12,56 см2. Площадь поперечного сечения, занимаемого бетоном, определяется как

 Пусть в поперечном сечении колонны действует сжимающая сила N, тогда уравнение равновесия примет вид:

.

 Для определения усилий в арматуре Na и в бетоне Nb одного записанного выше уравнения равновесия недостаточно, так как задача один раз статически неопределима. Составим дополнительное уравнение возможных перемещений (уравнение совместности деформаций). Очевидно, что между арматурой и бетоном существует сцепление, так что абсолютное и относительное удлинения арматуры и бетона равны

  или .

 Учитывая, что , получаем равенство относительных удлинений:

  или , или, что то же самое откуда находим

  Подставляя полученное соотношение в уравнение равновесия при учете, что , , и полагая, что внешняя сосредоточенная сжимающая сила N = 600 , имеем

  откуда находим

  Напряжения имеют знак «минус», так как колонна работает на сжатие.

 В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса. Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.

Построение эпюр нормальных сил и напряженийт для брусьев в статически определимых задачах Задача . Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. 1.1.1. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

Задача. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для которого a1 = 25 см, a2 = 15 см, a3 = 10 см, a4 = 20 см, А1 = А = 20 см2, А2 = =А3 = 4А. А4 = 2А. Стержень находится под действием сосредоточенных сил F1 = 327,2 Н; F2 = 1 кН; F3 = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м3, действующих вдоль оси стержня.

  Задача. Проверить прочность стального стержня. Материал – сталь с Ry = 2450 кг/см2 и объемным весом = 0,00785 кг/см3, F = 10 т, = 1.

Перемещения поперечных сечений брусьев в статически определимых задачах

Расчеты на растяжение и сжатие статически определимых стержневых систем Задача Абсолютно жесткий брус ВС (ЕВС = ) прикреплен в точке С к неподвижному шарниру, а в точке В поддерживается стальной тягой АВ. В точке В приложена вертикальная сила F = 20 кН.

 Задача. Задан стальной стержень, защемленный одним концом и загруженный силой F = 1000 Н. Удельный вес стали стержня  модуль продольной упругости стали .

Расчеты на растяжение и сжатие mстатически неопределимых стержневых систем Задача (Пример взят из учебника А.В. Даркова, Г.С. Шпиро «Сопротивление материалов». – М.: «Высшая школа», 1975. – Изд.4-е. – 656с.). Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров.

Влияние температуры на напряжение и деформации в брусьях При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры.


На главную