Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов (сопромату)

Расчет статистически неопределимых стержневых систем методом сил

Статически неопределимые плоские стержневые системы

 Статически неопределимой стержневой системой называется такая геометрически неизменяемая стержневая система, в которой некоторые реакции связей и усилия М, N, Q не могут быть определены с помощью уравнений статики, а определяются из дополнительных уравнений неразрывности деформаций.

 Связи по своему значению могут быть абсолютно необходимые и условно необходимые или лишние. При удалении абсолютно необходимых связей система становится геометрически изменяемой. При удалении лишний связей система сохраняет геометрическую неизменяемость.

Свойства статически неопределимых систем

 1. Усилия в них возникают от внешней нагрузки, от изменения температуры, смещения опорных или других сечений, неточности сборки и усадки материала.

 2. Усилия в статически неопределимых системах зависят от геометрических размеров поперечных сечений и свойств материала (от Е, G).

  3. После удаления n лишних связей n раз статически неопределимая система сохраняет свою геометрическую неизменяемость.

Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем

методом сил

 При расчете по методу сил за неизвестные параметры необходимо принимать реакции связей или внутренние усилия в определенных сечениях стержневой системы. В этом случае степень статической неопределимости, то есть число лишних связей Л определяется по формуле:

 Л = 3Ку – Шз, (1)


где Ку – число условных замкнутых контуров, Шз – число простых шарниров между дисками, включая землю. Примеры подсчета лишних связей приведены на рис. 1.

  После определения степени статической неопределимости выбирается основная система, которая кладется в основу дальнейшего расчета. Основная система должна быть статически определимой. Для этого разрезают все лишние связи, а отброшенные связи заменяют реакциями Хi (рис. 2).

 Затем записываются условия, что перемещения в направлении отброшенных связей равны нулю или пропорциональны реакциям связи соответственно для жестких или упругих связей. Таким образом, при n лишних неизвестных Х1, Х2, …, Хn получают систему n уравнений с n неизвестными:

δ11Х1 + δ12Х2 + … + δ1nХn + Δ1F = 0,

δ21Х1 + δ22Х2 + … + δ2nХn + Δ2F = 0,

δ31Х1 + δ32Х2 + … + δ3nХn + Δ3F = 0,

……………………………………..,

δn1Х1 + δn2Х2 + … + δnnХn + ΔnF = 0, (2)

где согласно сокращенного интеграла Мора, имеем

    (3)

 Система уравнений (2) называется каноническими уравнениями метода сил. Например, первое уравнение системы уравнений (2) показывает, что перемещение точки основной системы, где приложена неизвестная сила Х1, в направлении этой силы должно быть равно нулю. В этом уравнении δ11 – перемещение в направлении силы Х1 от силы Х1 = 1; δ12 – перемещение в направлении силы Х1 от силы Х2 = 1; δ1n – перемещение в направлении силы Х1 от силы Хn = 1; Δ1F – перемещение в направлении силы Х1 от внешней нагрузки.


Решая канонические уравнения (2), определяем неизвестные усилия и реакции Х1, Х2, …, Хn, после чего строятся эпюры М, N, Q, определяются необходимые перемещения и деформации.

 Пример. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для рамы, изображенной на рис. 3, а.

 Имеем Л = 1. Рама один раз статически неопределима. Записываем каноническое уравнение:

  откуда определяем

 Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

а затем находим величину горизонтальной опорной реакции Х1 = 0,6 кН.

 Теперь можно приступить к построению эпюры изгибающих моментов (рис. 3, б), используя формулу

  Определив остальные опорные реакции, строим эпюры поперечных (рис. 3, в) и нормальных (рис. 3, г) сил.

Поверка правильности эпюр М, Q, N

Статическая проверка

  Для всей рамы в целом, ее узлов и отдельных, произвольно выделенных частей рамы, должны выполняться условия статического равновесия. 

 Например, для рамы, изображенной на рис. 3, а, согласно проведенного расчета получены опорные реакции  VA = VB = F / 2 и H = 0,6 кН (рис. 3, д), следовательно:

Σy = VA + VB – F = 0, Σx = H – H = 0.

 Проводим сечение I – I, отбросим левую часть рамы (рис. 3, д), а действие отброшенной части заменим соответствующими значениями М, N, Q, взятыми из эпюр М, N, Q. Для оставшейся части составим уравнения равновесия:

Σy = 5,5 + VB – 11 = 0; Σx = 0,6 – Н = 0; ΣМ0 = – 3 + F·2 + Н·5 – VB ·4 = 0.

 Проверка подтвердила правильность полученных результатов.

Деформационная проверка

 На рис. 3, а, д показана один раз статически неопределимая рама. Окончательная эпюра изгибающих моментов для этой рамы приведена на рис. 3, б. Очевидно, что горизонтальное перемещение точки В (правой опоры рамы) должно быть равно нулю. Чтобы проверить это, необходимо перемножить две эпюры и М:

  Таким образом, деформационная проверка в общем случае проводится в следующем порядке:

Отбрасываем лишние опорные связи, перемещения по направлению которых по условию задачи равны нулю, и переводим заданную статически неопределимую систему в статически определимую систему.

По направлению каждой отброшенной связи прикладываем единичную силу (или момент).

От каждой единичной силы (или момента) строим единичную эпюру изгибающих моментов .

Умножая эпюры на окончательную эпюру изгибающих моментов М, определяем перемещения в полученной статически определимой системе по направлению каждой отброшенной связи.

 Если перемещения по направлению каждой отброшенной связи равны нулю, то это свидетельствует о правильности окончательной эпюры изгибающих моментов.

Проверка коэффициентов и свободных членов системы

 Коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений (2) метода сил представляют собой перемещения в основной системе от действия единичных усилий и внешней нагрузки.

  Проверка проводится следующим способом:

Строим суммарную единичную эпюру

Проводим построчную проверку коэффициентов:

  (4)

 3. Проводим универсальную проверку коэффициентов:

  Как правило, при расчете ограничиваются лишь универсальной проверкой. Если условие (5) не удовлетворяется, то для отыскания ошибки рекомендуется производить построчную проверку (4).

Определение перемещения сечения стержня плоской статистически определимой стержневой системы при действии температурных воздействий и при смещении ее опор

Групировка неизвестных при расчете симметричных статически неопределенных рам Будем считать раму симметричной, если ее геометрическая схема имеет ось симметрии и жесткости симметрично расположенных стержней равны друг другу.

Расчет статически неопределимых систем на действие температуры

Статически неопределимые арки В строительной практике встречаются арки трех основных типов: трехшарнирные, двухшарнирные и бесшарнирные, причем трехшарнирные арки являются статически определимыми системами, а остальные – статически неопределимыми. Классификация арок осуществляется также по очертанию оси: круговые, параболические, эллиптические и т.д.

 Бесшарнирная арка – трижды статически неопределима. Рассмотрим расчет симметричной арки. За основную систему можно принять любую из показанных на рис. 3, б, в, г. Как будет установлено в дальнейшем, основная система, изображенная на рис. 3, г, является лучшей. В этой системе используется невесомые и абсолютно жесткие консоли длиной с.

 Неразрезной балкой называется брус, который перекрывает два или более пролетов

Построение линий влияния в неразрезных балках

  Усилия в статически неопределимых системах зависят от соотношений в размерах поперечных сечений. Важно обоснованно задаться размерами поперечных сечений. Для этого и служат приближенные методы расчета. Приближенными называют такие методы расчета, при применении которых вводятся больше упрощений, чем в классических методах расчета. Дополнительные допущения дают возможность сократить объем вычислений и исключить решение систем канонических уравнений.

  Пример. Рассмотрим верхний этаж рамы, изображенной на рис. 2. Пусть все стойки этажа имеют одну высоту h и одинаковый момент инерции


На главную