Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Лекция 6

ТЕМА: Понятие векторного (линейного) пространства

Определение 6.1

Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Примеры векторов:

а) векторы-отрезки, выходящие из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;

б) коэффициенты любого линейного уравнения с  неизвестными составляют -мерный вектор;

в) если дана матрица из строк и  столбцов, то ее столбцы будут -мерными, а столбцы -мерными векторами.

Решение задач на вычисление интеграла Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R

Понятие линейного (многомерного векторного) пространства является одним из основных в современной математике.

Пусть, -некоторое множество,  - элементы , , причем,

1)

2)

Потребуем, чтобы эти операции удовлетворяли следующим аксиомам:

аксиомы линейного пространства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение 6.2

Множество  элементов , в котором определены операции сложения и умножения элемента на число, удовлетворяющие аксиомам (1-8), называется линейным (векторным) пространством.

Элементы множества  называют векторами.

Определение 6.3

Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  называется выражение вида: .

Определение 6.4

Вектора  называются линейно зависимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором V, т.е.  (6.1).

Если , то вектора  называются

линейно независимыми.

Из данного определения вытекают следующие утверждения:

1) Если среди векторов  есть нуль-вектор, то они линейно зависимы.

Доказательство

Пусть, например, , тогда, , так как  не все равны нулю, выполняется равенство (6.1).

2) Если часть векторов  линейно зависима, то и все вектора линейно зависимы.

Доказательство

Пусть  .

Среди  есть неравные нулю, то есть выполняется тождество (6.1) и для всех векторов.

3) Теорема 6.1

Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех других.

Доказательство

 линейно зависимы, то есть выполняется равенство (6.1).

Пусть , тогда  - линейная комбинация.

Пусть  - линейная комбинация, тогда , то есть выполняется равенство (6.1), а это значит, что вектора линейно зависимы.

Базис линейного пространства

Определение 6.5

Совокупность векторов  называют базисом в , если:

1. вектора  – линейно независимы;

2. для  найдутся , такие, что . (6.2)

При этом равенство (6.2) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами   относительно базиса .

Пример 6.1

Пусть . Показать, что вектора линейно независимы.

 ,

  ,

то есть данные вектора линейно независимы.

Добавим к этой системе векторов еще один вектор: .

Легко убедиться, что  - линейная комбинация,

т.е.  - линейно зависимые вектора.

Теорема 6.2 (о единственности разложения по базису).

Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. .

Координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство.

Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   .

Теорема 6.3 (операции над векторами, заданными своими координатами).

При сложении любых двух векторов ,  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются.

При умножении  на  все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть  – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису   что теорема доказана.

Определение 6.6

Линейное пространство  называется n–мерным, если

1. В нем существуют n линейно независимых векторов.

2. Любой -й вектор линейно зависим.

Если задана система  векторов

 ,

где , , а координаты заданы в одном и том же базисе,

то  - матрица системы векторов, где в -м столбце стоят координаты вектора .

Теорема 6.4

Для того, чтобы  векторов -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен .

Следствие 1

 линейно независимы тогда и только тогда, когда для данных векторов .

Следствие 2

Если ранг матрицы системы  векторов линейного пространства равен , то максимальное число линейно независимых векторов этой системы также равно .

Пример 6.2

, , .

, таким образом, векторы  - линейно зависимы.

.

В признаке Даламбера исследуются отношения и в случае нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение Если , то ряд сходится, а при нельзя сделать определённого вывода; нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия