Практикум по теме «Криволинейный интеграл»
Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной
si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.
J = lim
f(xi, yi)
si
![]()
f(x,y) ds
![]()
f(x,y) ds ( 1 )
n
Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.
Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.
1) Кривая L задана параметрически : x =
(t) , y =
(t) , t1
t
t2 .
Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде
s =
=
и при n
![]()
s
ds =
dt
J =
f(x,y) ds =
f(
(t) ,
(t))
dt ( 2 )
2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .
Тогда
s =
или ds =
dx . В результате имеем
J =
f(x,y) ds =
f(x,y(x))
dx ( 3 )
Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S =
![]()
dx
Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.
Решение.
Точки пересечения линий:
(-
,0), (
,0)
y = x2/2 – 1 , y` = x ,
=
, -
x
S =
![]()
dx =
dx =
+ ln (
)
Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам :
xc =
, yc =
, где s – длина дуги. ( 4 )
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )
ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S =
ds = 2
sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4
xc =
= 2/4
(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3
yc =
= 2/4
(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3
Задачи для самостоятельного решения
Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x =
/3 до x = 2
/3 ;
2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.
Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .
J = lim
f(Mi)
xi
![]()
f(x,y,z) dx ; J = lim
f(Mi)
yi
![]()
f(x,y,z) dy
J = lim
f(Mi)
zi
![]()
f(x,y,z) dz
Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода
J =
P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
![]()
Pdx +
Qdy +
Rdz ( 5 )
Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.
Свойства сходящихся рядов
остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.
1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда — ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Практикум по теме «Тройной интеграл» |