Практикум по теме «Криволинейный интеграл»
Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от
функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате
разбиения этой кривой на малые участки с длиной 
si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования
является длина кривой s.
J = lim 
f(xi,
yi) si 
f(x,y) ds 
f(x,y) ds ( 1 )
n
Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.
Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.
1) Кривая L задана параметрически : x = 
(t) , y = 
(t) , t1
tt2 .
Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде
s =
=
и при n
s
ds =
dt
J =f(x,y)
ds = 
f((t) ,(t)) 
dt ( 2 )
2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .
Тогда s =
или ds = 
dx . В результате имеем
J = f(x,y)
ds = 
f(x,y(x)) 
dx ( 3 )
Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
При f(x,y) =
1 интеграл определяет длину дуги : S = dx
Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.
Решение.
Точки пересечения
линий: 
(-
,0), (,0)
y = x2/2 – 1 , y` = x , = 
, - 
x
S =
dx = 
dx = 
+ ln (
)
Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются
по формулам : 
xc = 
, yc = 
, где s – длина дуги. ( 4 )
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )
ds
= 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = 
ds = 2
sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4
xc = 
= 2/4
(t – sin t) sin(t/2) dt =
8/3
yc = = 2/4(1
– cos t) sin(t/2) dt = 4/3
Задачи для самостоятельного решения
Определить
длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = 
/3
до x = 2/3 ;
2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.
Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .
J = lim f(Mi)
xi 
f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi f(x,y,z) dy
J = lim f(Mi)
zi f(x,y,z) dz
Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода
J =
P(x,y,z)dx
+ Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )
Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.