Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Основные свойства двойного интеграла Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования Вычислить тройной интеграл

Пример. Вычислить тройной интеграл

J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Решение.

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

 у = 0 (степени 1, нет х, z ) плоскость координатная zOх (стенка)

x = 1 (степень 1, нет y, z ) плоскость || yOz (стенка)

z =  или z2 = xy (степень 2) сечения x = const, y = const – параболы (верх)

  z = 0 (степени 1, нет y, x ) плоскость координатная xOy (низ)

J =(27 + 54y3) dx dy dz = (27 + 54y3) dxdydz , J1 = dz =  

D:  y = x, y = 0, x = 1

Точки пересечения линий 

 (0;0) , (1;0) , (1;1)

  Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 1,

 а движение по коридору от у = 0 до y = x D:  0 x 1, 0 y  x

J = , J2 = = (7x2 + 6x4) ,

J =  (7x2 + 6x4) dx = [ 7x3/3 + 6x5/5 ] |01 = 106/35

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

2) J =  , где : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3) J =  , где : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

4) J =  , где : x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1 .

5) J =  , где : x + y + z = 1 , x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0.

6) J =   , где : x = 0 , y = 0 , y = 2 , z = 2 , z = x2 .

7) J =  , где : y = 4 , z = 4 – x2 .

8) J =  , где : x + y + z = 2 , x + y – z = 0 , x = 0 , y = 0 .

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 4 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Пример 4. Вычислить тройной интеграл

 J = , где : z = x2 + y2 , z = 2 - x2 - y2 .

Решение.

z = x2 + y2 (степени 1,2) параболоид вращения (низ)

z = 2 - x2 - y2 (степени 1,2) параболоид вращения (верх)

 J =(y + x) dx dy dz = (y + x) dxdydz,  J1 =dz =

= 2(1 – x2 – y2), D: линия пересечения двух параболоидов вращения

 x2 + y2 = 1, z = 1; D: круг R=1, J = 2(y + x) (1 – x2 – y2) dxdy=

= {x = r cos j , y = r sin j} = 2  ,

J2 =   = (r3/3 – r5/5) |01 = 2/15, но J = 0, т.к.  = =0

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : z = 0 , z = 4 – x2 – y2 .

2) J = , где : z = 4 , z = x2 + y2

3) J =  , где : z = 0, z = 5, x2 + y2 = 4

4) J = , где : x2 + y2 = 4, z2 + y2 = 4, x ³ 0 , y ³ 0, z ³ 0 .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 5 )

Пример 5. Определить массу шара радиуса R с переменной плотностью   = r .

Решение.

M =  (x,y,z) dv =  = 2 2 R4/4 = R4

Свойства сходящихся рядов остаток сходящегося ряда, последовательность остатка. 1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда — ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена). Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться: 2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Практикум по теме «Тройной интеграл»