Практикум по теме «Двойной интеграл»
Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную
контуром 
D и функцию z = f(x,y)
0,
которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный
над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом.
Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,
восстановленные из всех
точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной
суммы приводит к понятию двойного интеграла.
V = lim 
f(
)
si = 
f(x,y) dx dy при n
(1)
Опр. Двойным интегралом от функции
f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный
разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади
этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.
Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению
повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
1.
D - прямоугольник ( a 
x b , c y d ) , тогда
f(x,y)
dx dy = 
dx
f(x,y) dy
При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .
2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две
кривые (a x b , y1(x) yy2(x) )
Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)
f(x,y)
dx dy = {
f(x,y) dy } dx
3. D - ограничивают две
прямые | | оси Ох и две кривые (c
y d, x1(y)xx2(y) )
Это область правильная в направлении Оx. (Коридор
вдоль Ох.)
f(x,y) dx dy
= {
f(x,y) dx } dy
4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.
Пример 1. Изменить порядок интегрирования
J = 
.
Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.
Решение.
1.
D: 0 
x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.
2.
D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.
Они определяют линии, ограничивающие область D.
Находим их точки пересечения из решения систем уравнений
(4;8) ,
(4;8) , 
(0;0)
Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые
y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.
4.
Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y 8 . В уравнениях перегородок
перейдем к обратным
функциям : y = 2x x = y/2, y = x2/2 x = 
5. D: 0 y 8 , y/2 x
Ответ. J = 