Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Основные свойства двойного интеграла Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования Вычислить тройной интеграл

Практикум по теме «Двойной интеграл»

 

Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)0, которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,

восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.

V = lim   f()si = f(x,y) dx dy при n (1)

Опр. Двойным интегралом от функции  f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c   y  d, x1(y)xx2(y) )

 Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)

f(x,y) dx dy  = {f(x,y) dx } dy

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пример 1. Изменить порядок интегрирования  J = .

Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.

Решение.

1.  D: 0  x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.

2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.

 Они определяют линии, ограничивающие область D. 

 Находим их точки пересечения из решения систем уравнений

 (4;8) ,(4;8) , (0;0)

 Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые

 y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.

4.  Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y  8 . В уравнениях перегородок

 перейдем к обратным функциям : y = 2x  x = y/2, y = x2/2 x =

5. D: 0 y  8 , y/2 x

 Ответ. J = 

Свойства сходящихся рядов остаток сходящегося ряда, последовательность остатка. 1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда — ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена). Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться: 2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
Практикум по теме «Тройной интеграл»