Примеры | |||
Задачи | |||
Лекции | |||
Чертеж |
Практикум по теме «Двойной интеграл»
Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром
D и функцию z = f(x,y)
0, которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,
восстановленные из всех точек контура
D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.
V = lim
f(
)
si =
f(x,y) dx dy при n
(1)
Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков -
si =
xi
yi , а f(
) - высоту каждого элемента бруса.
Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.
1. D - прямоугольник ( a
x
b , c
y
d ) , тогда
f(x,y) dx dy =
dx
f(x,y) dy
При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .
2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a
x
b , y1(x)
y
y2(x) )
Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)
f(x,y) dx dy =
{
f(x,y) dy } dx
3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c
y
d, x1(y)
x
x2(y) )
Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)
f(x,y) dx dy =
{
f(x,y) dx } dy
4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.
Пример 1. Изменить порядок интегрирования J =
.
Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.
Решение.
1. D: 0
x
4 , x2/2
y
2x - Пределы интеграла означают неравенства.
2.
D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.
Они определяют линии, ограничивающие область D.
Находим их точки пересечения из решения систем уравнений
(4;8) ,
(4;8) ,
(0;0)
Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые
y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.
4. Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0
y
8 . В уравнениях перегородок
перейдем к обратным функциям : y = 2x
x = y/2, y = x2/2
x =
5. D: 0
y
8 , y/2
x
Ответ. J =
Свойства сходящихся рядов
остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.
1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда — ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю
|