Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Основные свойства двойного интеграла Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования Вычислить тройной интеграл

Основные свойства двойного интеграла.

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

  т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy  +g(x,y) dx dy

 т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования.  Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

5. Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке,  т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами ()  всегда существует в области D.

Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy ( 3 )

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx ( 4 )

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c   y  d , x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy ( 5 )

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = , y = x2 

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : =х2  (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0  x  1 ; x2  y  , тогда

J = dxxy dy , Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01 = 1/12

Преобразования плоских областей.

Понятие сходимости числового ряда Пусть последовательность действительных чисел, - числовой ряд (1). Составим последовательность частичных сумм: последовательность частичных сумм Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S — его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Практикум по теме «Тройной интеграл»