Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Основные свойства двойного интеграла Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования Вычислить тройной интеграл

Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье можно записать в виде

 . (23)

Это есть комплексная форма интеграла Фурье. Введем функцию

 , (24) то согласно (23) получим

 . (25)

Переход от  к  по формуле (24) называется прямым преобразованием Фурье. Восстановление  по  с помощью формулы (25) называется обратным преобразованием Фурье. Функция  называется спектральной функцией или спектральной плотностью сигнала . Функция   называется амплитудным спектром, функция   называется фазовым спектром функции .

  и  - спектральные характеристики сигнала  соответственно амплитудная и фазовая  - четная, а  - нечетная функция.

.

Рассматривая интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье при , можно заметить, что спектральные линии в пределе сливаются. Поэтому амплитудный спектр непериодической функции будет сплошным и его изображают непрерывной линией.

Формулы (24) и (25) показывают, что если известна спектральная плотность сигнала , то можно восстановить сигнал , и, наоборот, по известному сигналу  можно определить его спектральные характеристики. Таким образом, описания процессов временными функциями (сигналами) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных задач, связанных с распространением сигналов, используют ту или иную форму представления, исходя из простоты математического анализа.

Рассмотрим важные для практики примеры нахождения спектральной плотности и спектральных характеристик непериодических сигналов.

Единичная функция  изображается графиком, как показано на рис. 16.

Единичная функция определяется следующим образом: . Если попытаться вычислить спектральную плотность единичной функции “напрямую”, возникает затруднение, связанной с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой.

В этом случае умножают заданную функцию на затухающую экспоненту . Вычислив спектральную плотность функции , искомую спектральную плотность находят предельным переходом при .

  .

Таким образом, амплитудная характеристика единичной функции  изображается графиком, как показано на рис. 17.

 

 

w 

 Рис. 17 

Прямоугольный импульс.

Сигнал, определяемый выражением:

находит широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Прямоугольный импульс высотой , длительностью  изображен на рис. 18.

 

 h 

 -t/2 0 t/2

 Рис. 18

 Применяя формулу (24), находим спектральную плотность этого импульса.

.

 


 Далее на рис. 19 представлены графики спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса. На графике фазового спектра каждая перемена знака  учитывается приращением фазы на .

 

   

    

 2p

    p 

   w w -p    w

 Рис. 19

 
3. Треугольный импульс.

 

 

 h

 -t/2  0 t/2 t

 Рис. 20

 График функции представлен на рис. 20.

 Решение. Вычисляем спектральную плотность .

 

 .

 График спектральной плотности  изображен на рис. 21.

 

 

 

 

 0    

 Рис. 21

Понятие сходимости числового ряда Пусть последовательность действительных чисел, - числовой ряд (1). Составим последовательность частичных сумм: последовательность частичных сумм Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S — его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Практикум по теме «Тройной интеграл»