Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Интеграл Фурье Интегрирование функций нескольких переменных Основные свойства двойного интеграла Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования Вычислить тройной интеграл

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду , и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом

(рис. 10).

 y

-2p  -p 0 p  2p х

 Рис. 10 

Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая .

;

;

;

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае . Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).

График функции представлен на рис. 11.

 y

 -p p  x

 

 Рис. 11

 

 

  0

 .

Итак, .

Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке   к одной и той же формуле , во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.

Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:

.

Для функций с произвольным периодом  ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

 , (15)

где

 . (16)

Понятие сходимости числового ряда Пусть последовательность действительных чисел, - числовой ряд (1). Составим последовательность частичных сумм: последовательность частичных сумм Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S — его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Практикум по теме «Тройной интеграл»