Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Пример 22.4.

Вычислить производную функции  в точке .

, .

22.5. Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)

Алгоритм вычисления производной

Пусть задана функция .

1) прологарифмируем функцию:

2) продифференцируем функцию:

3) выразим из полученного уравнения :

 (22.3)

Пример 22.5.

С помощью логарифмического дифференцирования найти производную функции: .

(Ответ: ).

Замечание 2.

С помощью логарифмической производной можно находить производную сложной функции, которую можно дифференцировать.

Пример 22.6.

Вычислить производную функции .

.

22.6. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть .

Если функция  монотонна и непрерывна, то

 (22.4)

Пусть функции  дифференцируемы и .

 (22.5)

Пример 22.7.

Вычислить производную функции, заданной параметрически:

 (уравнение эллипса).

.

22.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 22.1.

Второй производной (или производной второго порядка) функции называется производная от ее первой производной.

Обозначение:  (22.6)

Механический смысл.

Функция  равна ускорению движущейся точки в момент времени .

Аналогично определяются 3-я, 4-я и т.д. производные:

 (22.7)

а). Если - независимая переменная, то , т.к.  не зависит от

Определение 22.2.

Вторым дифференциалом от функции называется дифференциал от первого дифференциала:

 (22.8)

Тогда  (22.9)

– формула n-го дифференциала функции .

б). Если , то есть , тогда, поскольку , то

Здесь  (**).

Замечание 2. если .

Таким образом, свойство инвариантности не выполняется.

Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения: 1) теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ; 2) теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ; 3) теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия