Искусство
Сопромат
Матанализ
Примеры
Ренессанс
Электротехника
Физика
Задачи

Возрождение

Расчеты
Геометрия
Лекции
АЭС
Энергетика
Начертательная
Чертеж

Лекция 21

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

21.1. Производная функции

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 21.1

Производной функции  в точке  называют ,

если он существует и конечен.

Замечание 1. Если , то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «–».

Обозначения: .

Пример 21.1.

Найти производную функции .

.

 

Пример 21.2.

Найти производную функции .

.

.

Определение 21.2.

 – правосторонняя производная;

 – левосторонняяпроизводная.

Теорема 21.1.

Функция  имеет производную в точке , тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.

Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

21.2. Дифференциал функции

Определение 21.3.

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке можно представить в виде:

, (21.1)

 где ,  – бесконечно малая функция.

Замечание 3. В формуле (21.1)  (читают: А от ) – главная линейная относительно  часть приращения называется дифференциалом функции   в точке  и обозначается  или :

 (21.2)

Таким образом, . Если обозначить , то

. (21.3)

Теорема 21.2.

Для того чтобы функция  была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема 21.3.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак,  или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена на интервале , причем точки ,  принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел, то прямую с угловым коэффициентом  называют предельным положением секущей MP при  (или касательной) (MS). (То есть ).

Из   .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке .

 – уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть  – закон движения точки; тогда за время   будет пройден путь . За время : .

Если , , то  – средняя скорость за время .

Таким образом,  – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения: 1) теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ; 2) теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ; 3) теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .

Ланшафтный дизайн