Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Лекция 19

Предел функции на бесконечности

Определение 19.1.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

.

Определение 19.2.

Число А называется пределом функции f(x) при

если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы  которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

19.2. Некоторые свойства функций, имеющих предел

Теорема 19.1 (об ограниченности функций, имеющих предел)

Если , то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.

Доказательство

Пусть  .

Теорема 19.2.

Если , то .

Теорема 19.3.

Если в некоторой окрестности точки , то .

Теорема19.4(арифметические операции над функциями, имеющими предел).

Если существуют  и  то существуют конечные пределы   , если , причем  ,  (19.1).

 

Доказательство

Для любой последовательности  формулы (19.1) справедливы, следовательно: .

По определению 18.1 .

Остальные формулы доказываются аналогично.

Следствие.

Если существует , то существует , где .

Теорема 19.5.

Пусть  определены в некотором множестве X.

Пусть для любого  из некоторого промежутка, содержащего точку  выполняются неравенства  и  имеют одинаковые пределы при   тогда функция  имеет тот же предел при .

19.3 Два замечательных предела

Докажем, что  (первый замечательный предел).

Рассмотрим дугу окружности OA=R=1 c центральным углом  

Тогда MK=sin x, AN=tg x.

,

,

,

,

.

Так как функции  и  имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 19.5:

, т.е. 1 – правый предел.

Так как  – четная функция, то .

Пример 19.1

Вычислить .

.

Заметим  – второй замечательный предел.

Перестановки числовых рядов Биекция называется числовой перестановкой N. Если числовой ряд (1), то ряд вида называется его перестановкой. Пример. называется его перестановкой. Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся. Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия