Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Действия с матрицами

Определение 2.1.

Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы.

Замечание 1. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.

.

Определение 2.2.

А) Суммой матриц одинакового размера  и  называется матрица , полученная поэлементным сложением данных матриц.

Б) Произведением матрицы  на число  называется матрица , полученная умножением всех элементов матрицы на число .

Замечание 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями с матрицами.

Замечание 3. В отличие от матриц, в определителе не все его элементы, а элементы только одной строки (столбца) умножаются на число .

Суммы матриц разного порядка не рассматриваются.

Примеры 2.1.

1) ;

.

2) , ;

.

2.2. Свойства линейных операций с матрицами

Пусть А, В, С – матрицы одинакового размера,  - числа

  - переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);

  - сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);

  - ассоциативность умножения матрицы на число;

  - распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);

  - дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц.

Докажем свойства (3) и (5) (остальные доказываются по аналогии).

Доказательства.

. Пусть  и , тогда

 .

Здесь использовались: определение 2.2(б), свойство умножения матрицы на число.

. Пусть  и . Тогда

Благодаря этим свойствам при выполнении многих операций с матрицами можно обращаться как с обычными числами.

Определение 2.3.

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  с элементами:

,  (2.1),

( - сумма произведений элементов -ой строки первой матрицы на соответствующие по порядку элементы -го столбца второй матрицы).

Замечание 4:

А) Согласно этому определению, умножать можно только такие две матрицы, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведение  имеет столько строк, сколько первая матрица, и столько столбцов, сколько вторая.

В противном случае произведение не определено.

Б) Произведение матриц не является линейной операцией.

С) Операция умножения матриц некоммутативна.

Обозначение: .

Примеры 2.2.

1) Пусть  

.

2)Пусть ,  . Показать, что .

В признаке Даламбера исследуются отношения и в случае нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение Если , то ряд сходится, а при нельзя сделать определённого вывода; нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия