Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Пример 17.4.

Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn..

Выберем интервал  с длиной . Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема 17.2.

Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Пусть {xn} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами(c,d) и (e,f) (т.е. ) Т.к. a=lim xn , то все элементы {xn} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b – предел.

Теорема 17.3.

Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

поэтому<1

.

Пусть ,

тогда очевидно, что .

17.2. Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел

Замечание 1.

Пусть , тогда  - бесконечно малая последовательность.

Действительно, .

Это значит, что любой элемент последовательности {xn}, имеющей пределом число , можно представить в виде:

 (17.1).

Замечание 2.

Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 3.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 4.

Так как , то .

Теорема 17.4.

Если существуют конечные пределы последовательностей  и , то справедливы равенства:

1)  (17.2)

2)  (17.3) 

3)  если  (17.4).

Доказательство

Идея доказательства построена на неравенстве:

.

Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):

1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);

2)  (бесконечно малая последовательность);

3)  (бесконечно малая последовательность).

Монотонные последовательности

Определение 17.4.

1)Последовательность {xn} называется возрастающей, если .

2) Последовательность {xn}  называется неубывающей, если .

3) Последовательность {xn}  называется убывающей, если .

4) Последовательность {xn}  называется невозрастающей, если .

Все такие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности.

Пример 17.5.

Определить виды последовательностей:

1; 1/2; 1/3; …(убывающая, ограниченная);

1; 1; ½; ½; 1/3; 1/3; …(невозрастающая, ограниченная);

1; 2; 3; …;n;…(возрастающая, неограниченная);

1; 1; 2; 2; 3; 3; …;n; n;…(неубывающая, неограниченная);

½; 2/3; ¾; …; n/(n+1);…( возрастающая, ограниченная).

Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны.

Теорема 17.5.

Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т.е. просто ограничена, то она сходится.

Замечание 5.

Из теорем 17.3 и 17.5 следует, что ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.

Перестановки числовых рядов Биекция называется числовой перестановкой N. Если числовой ряд (1), то ряд вида называется его перестановкой. Пример. называется его перестановкой. Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся. Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия