Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Сфера

Определение 15.1.

Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Выберем произвольную точку  принадлежащую сфере, тогда  или

(15.3)

- каноническое уравнение сферы с центром  и радиусом .

Цилиндрические поверхности

Определение 15.2

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой  (образующей), движущейся вдоль некоторой линии  (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Если , то  - определяет линию в плоскости .

 (не содержит переменной ).

Цилиндром II-го порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющими которой являются эллипс, гипербола, парабола:

А) Эллиптический цилиндр.

Б) Гиперболический цилиндр.

В) Параболический цилиндр.

Конические поверхности

Определение 15.3

Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и проходящими через каждую точку линии  - называется конической поверхностью.

II тип задач

(по виду уравнения определяются свойства поверхности)

Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Эллипсоид

Определение 15.4.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (15.4)

Установим геометрический вид эллипсоида.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными  (  число).

Линия сечения определяется системой:

(**)

.

Исследуем (**).

А) , тогда  - эллипс в плоскости , причем самый большой.

Б) , тогда  - линия (**) вырождается в точки .

(плоскости  касаются эллипсоида)

В) , тогда .

Таким образом, плоскость  пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если , то , поэтому при , получается самый большой эллипс.

Г) , то  - мнимый эллипс, точек пересечения с  не .

 - полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид является сферой.

Аналогично, если  или .

Однополостной гиперболоид

Определение 15.5

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (15.5)

Установим его геометрический вид.

Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:

 и  (В сечения получаются гиперболы)

Также рассмотрим сечения поверхности плоскостями :

.

А) ,  - самый маленький эллипс.

Б) , .

В) , , , то .

Г) , , то .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления.  - полуоси (чтобы изобразить , следует построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол).

Перестановки числовых рядов Биекция называется числовой перестановкой N. Если числовой ряд (1), то ряд вида называется его перестановкой. Пример. называется его перестановкой. Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся. Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия