Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Элементы линейной алгебры Действия с матрицами Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Односторонние пределы Дифференциальное исчисление Ряды Фурье

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности и линии в пространстве

Определение 14.1.

Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Здесь  – некоторая зависимость между переменными.

Пример 14.1.

 – уравнение сферы ().

10 Уравнение линии в пространстве

Определение 14.2.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:

.

Пример 14.2.

.

Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости  ().

20 Общее уравнение плоскости

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: ,  – нормальный вектор, .

Написать уравнение плоскости.

Выберем произвольную точку ,

тогда , , т.е.

(14.1)

– уравнение плоскости.

2.2. Общее уравнение плоскости

Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим:  или

(14.2)

– общее уравнение плоскости.

Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных  и определяет поверхность первого порядка.

Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).

А). , .

Т.к. координаты точки  - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.

Б). , , , значит , следовательно .

Аналогично, если , ; , .

В). При , . Плоскость проходит через ось .

Аналогично, при  – плоскость проходит через ось ;

при  – плоскость проходит через ось .

Г). ,   . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .

Аналогично,   , ;   , .

Д). ,  ().

Аналогично, ,  (); ,  ().

2.3.Уравнение плоскости в отрезках

, , .

(14.3)

.

– уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть .

Выберем произвольную точку . Тогда , ,.

Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:  

(14.4)

.

– уравнение плоскости по трем точкам.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:

. (14.5)

30 Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть  - нормальный вектор для плоскости .

Утверждение 14.1.

Вектор  параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда

. (14.6)

Утверждение 14.2.

Плоскость , заданная уравнением  и плоскость , заданная уравнением   параллельны тогда и только тогда, когда

. (14.7)

Доказательство.

Действительно, , если  и  коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.

Утверждение 14.3.

  Плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда

. (14.8)

Утверждение 14.4.

Плоскости  и  пересекаются тогда и только тогда, когда  и  неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.

Утверждение 14.5.

Пусть плоскости  и  пересекаются по прямой, тогда плоскость   проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:

, где  одновременно. (14.9)

Радикальный признак Коши «сильнее», чем признак Даламбера, т.е. любой ряд, который можно исследовать при помощи признака Даламбера, можно и исследовать при помощи признака Коши. Но есть такие ряда, которые нельзя исследовать при помощи признака Даламбера, но можно исследовать при помощи признака Коши.
Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия