Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Примеры выполнения заданий контрольной работы Начертательная геометрия Метод проецирования эпюра Монжа Аксонометрические проекции Тени от геометрических тел Выполнение технических чертежей

Теорема Польке.

При построении параллельной проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П´ и направление проецирования.

Очевидно, любое изменение взаимного положения осей координат и плоскости проекций и всякое изменение направления вызовет как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по ним.

Геометр прошлого века К. Польке в 1853г., изучая вопрос о том, в какой зависимости находятся направление аксонометрических осей и коэффициенты искажения по ним от направления проецирования и положения плоскости проекций, пришел к следующему выводу.

Три произвольно выбранные отрезка О´x´, O´y´, O´z´ (рисунок 11.1) на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков Ox, Oy, Oz, выходящих из некоторой точки пространства. Доказательство теоремы Польке приведено в курсе Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия» (Гостехиздат, 1953).

Эта теорема К. Польке имеет существенное значение как для аксонометрии, так и для многих ее приложений. На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же отношение коэффициентов искажения по ним могут быть заданны совершенно произвольно.

Коэффициенты искажения пропорциональны соответственно отрезкам, изображающим аксонометрические оси. Действительно, отрезки О´x´, О´y´, О´z´, которые являются числителями дробей, определяющих коэффициенты искажений u, v, w, могут быть согласно теореме Польке выбраны произвольно. Но все эти три произвольно выбранных отрезка служат параллельной проекцией трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства. Пусть длина каждого из них равна m. Составив отношение u : v : w = : : и, заменяем Ох, Оу, Оz через m, получим: u : v : w = O´x : O´y´ : O´z´, что и доказывает пропорциональность коэффициентов искажения соответствующим отрезкам.

Прямоугольная аксонометрия и ее свойства.

Для того чтобы направление проецирования было перпендикулярно картине, ее плоскость должно быть расположена под какими – то углами к пространственным осям координат. В этом случае треугольник следов в прямоугольной аксонометрии всегда остроугольный, аксонометрические оси являются высотами этого треугольника и образуют между собой тупые углы (рисунок 11.5)

Рисунок 11.5

При решении ряда задач приходится определять натуральные размеры отдельных элементов изображенного объекта (длины отрезков, величины углов и пр.) или, наоборот, строить эти элементы по заданным условиям.

Метрические задачи в аксонометрии проще решать в том случае, если элемент тем или иным способом приведен в плоскость картины или в плоскость, параллельную ей. После операций, проделанных в плоскости картины, элемент надо привести в исходное положение. Наиболее распространенным и практически удобным способом является способ вращение до совпадения элемента с плоскостью картины или до положения, перпендикулярного к картине.

В первую очередь этот способ применяется для определения натуральных масштабов по произвольно выбраны аксонометрическим или, наоборот, для установления аксонометрических масштабов по натуральным точкам. Он так же используется для определения положения картины и направления проецирования по отношению к координатным плоскостям, если это требуется по ходу работы.

На рисунке 11.5 видно, что плоскость картины отсекает от координатных плоскостей треугольники, ограниченные двумя отрезками осей координат и стороной треугольника следов. Эти треугольники на картине проецируются искаженно, но сохраняют сторону треугольника следов.

Для нахождения натуральной величины этих треугольников, а следовательно, и отсеченных отрезков осей надо их совместить с плоскостью картине вращением вокруг следа картины; при этом точка О´ - проекция начала координат – будет перемещаться по перпендикуляру к стороне треугольника следов (следу плоскости Р) и расположится на дуге окружности, построенной на стороне треугольника следов, как на диаметре (рисунок 11.6 а).

Рисунок 11.6

На совмещенных треугольниках будут определяться истинные величины отрезков координатных осей, а следовательно, и натуральные масштабы, что позволит установить показатели искажения, т.е. отношения аксонометрических масштабов к натуральным.

Но может быть выполнен и обратный процесс – определение положения осей аксонометрии по данным натуральным масштабам и выбранным показателям искажения.

Для определения натуральной величины отрезка только одной оси аксонометрии Z и натурального масштаба по ней вращение производится вокруг этой оси Z (рисунок 11.6 б), и совмещенное положение точки О´ будет так же на окружности, построенной на отрезке В´1´ как на диаметре. Здесь, как и в первом совмещении, будут установлены натуральный размер отрезка оси Z, натуральный масштаб и величина «сжатия» фигур, лежащих в горизонтальной плоскости, а следовательно, и «коэффициент сжатия» в направлении, параллельном оси Z, т.е. высоты объекта. Коэффициент сжатия – отношение О´1´ : O´31´ в дальнейшем будет использована для решения позиционных и метрических задач, а так же для преобразования кривых 2-го порядка в более простые (окружности).

На изображения, выполняемые в аксонометрических проекциях, имеются ГОСТы (ГОСТ 2.317 – 69), которые рекомендую следующие виды аксонометрических изображений:

1. Два вида прямоугольных аксонометрических проекций (изометрию и диметрию).

2. Три вида косоугольных (фронтальную изометрию, горизонтальную изометрию, фронтальную диметрию).

Прямоугольная изометрия

В этом виде аксонометрии все углы между осями равны 1200, а все показатели искажения равно 0,82 (рисунок 11.7)

Рисунок 11.7

Это изображение обладает хорошей наглядностью, простое в построении, но объекты, приближающиеся к форме куба или имеющие квадратный план, в такой аксонометрии выполнять не рекомендуется, т.к. изображение иногда не создает достаточную наглядность. В это случае направление проецирования совпадает с одной диагональю куба, которая на изображении выражается в точку. (рисунок 11.7а)

Рисунок 11.7а

Для удобства построения вместо показателя 0,82 принимают приведенный показатель, равный 1, но при этом надо иметь в виду, что масштаб изображения будет больше масштаба ортогонального чертежа в 1/0,82 = 1,22 раза изображения очерка сферы на изображении будет окружностью радиусом 1,22 от радиуса в ортогональной проекции.

Прямоугольная диметрия.

В этом виде аксонометрии углы будут: между осями X и Z 900+70= 970; между Z и Y 1800-480 = 1320.

Показатели искажения: 0,94 по осям X и Z и 0,47 по оси Y. Обычно принимаются приведенные показатели соответственно 1 и 0,5. тогда размер изображенного объекта будет больше изображения на ортогональном чертеже с 1/0,94 = 1,06 раза, а следовательно, сфера изобразится окружностью радиусом 1,06 от радиуса ортогонального чертежа (рисунок 11.8)

Рисунок 11.8

Косоугольная аксонометрия.

Если плоскость картины расположить параллельно двум осям координат, допустим Z и X, то для получения их изображения, т.е. осей аксонометрии, направление проецирования уже нельзя принять перпендикулярно картине, т.к. в этом случае ось Y спроецируется в точку, а плоскость ZY выродится в прямую. Следовательно, направление проецирования надо принять под каким – то углом к картине, и только тогда получим изображение и третьей оси координат Y (рис.11.9, 11.9.а).

Рисунок 11.9 Рисунок 11.9а

В этом случае натуральные масштабы по осям Z и X и прямой угол между ними сохраняется, что значительно упрощает построение изображения. Направление проецирования может быть любым, но обычно ось Y располагают под углом 450 или 300 (к горизонту), а показатели искажения принимают 0,5 или 0,75. Этот вид изображения называется косоугольной диметрией . Он достаточно нагляден, прост в начертании и обычно выполняется так: вычерчивают фронтальную проекцию по ортогональному чертежу без изменения и по выбранному положению оси Y откладывают соответствующие размеры с учетом показателя искажения.

Если объект имеет очень сложную организацию в плане (т.е. в горизонтальной плоскости), то можно принять положение плоскости картины параллельно осям X и Y и так же косоугольно спроецировать начало координат. Получим косоугольную аксонометрию, в которой отсутствуют искажения по осям X, Y, а угол между ними останется равным 900 (рис.11.10, 11.10.а, 11.11, 11.11а).

Рисунок 11.10 Рисунок 11.10а

Рисунок 11.11 Рисунок 11.11а

Ось Z обычно принимается вертикальной, и показатель искажения по ней так же берут равным 1. Этот наиболее простой по начертанию вид аксонометрии, но он уступает предыдущим по наглядности.

Многогранники. Пересечение многогранников плоскостью, прямой. Построение натурального вида сечения. Пересечение многогранников. Развертывание поверхности многогранников. Понятие многогранников. Определение проекций сечений многогранников плоскостью частного положения и плоскостью общего положения
Изучение начертательной геометрии и черчения