Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Теория машин и механизмов Классификация зубчатых передач Червячная зубчатая передача Статическая и динамическая балансировка роторов Эффективность виброзащиты Коэффициент полезного действия Повышение надежности машин

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ

Кинетическим моментом системы или главным количеств движения относительно некоторого центра О называется вектор >, равный геометрической сумме векторов моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:

(1)

Проекции вектора > на оси Оxyz — называются кинетическими моментами системы относительно осей координат.

Кинетическим моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:

; ;

(2)

Вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью > (рис. 28).

Разобьем тело на отдельные материальные точки и возьмем одну > массой . Ее расстояние до оси  — , количество движения . Найдем момент , где . Тогда . По определению .

Итак, >

(3)

Вывод. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этой на угловую скорость тела.

Вычислим кинетический момент тела относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения Oхy и проходящей через его центр масс С.

Пусть плоская фигура S движется в своей плоскости Охy (рис. 29). Найдем > — кинетический момент фигуры относительно С . Найдем , так как , то .


Тогда , (8)

где >  — момент инерции тела относительно оси С.

Сравнивая выражение (3) и (4), видим, что кинетический момент относительно осей Oz С одинаков.

Рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в абсолютном движении.

Пусть имеем систему, состоящую из n точек. Возьмем произвольную точку массой > и запишем для нее теорему об изменении момента количества движения точки в векторной форме (). Точка взята из системы, значит и . Подобные равенства напишем для каждой из n точек системы и все их просуммируем. В результат получим ; по свойству внутренних сил   Внесем знакпод знак производной: , но  (по определению).

Имеем

.

(5)

Равенство (5) выражает теорему об изменении кинетического момента системы в векторной форме: производная от относительно некоторого центра по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему того центра.

Спроектировав равенство (5) на оси координат, получим

.

(6)

Равенства (6) выражают рассматриваемую теорему в скалярной форме: производная о кинетического момента системы относительно некоторой оси по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему той же оси.

Частные случаи

Если >, то  отсюда закон сохранения кинетического момента системы относительно центра О.

Если >, то , закон сохранения кинетического момента системы относительно оси z

Теперь рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.


Пусть Оxyz — неподвижные оси, относительно которых перемещается система с центром масс С, оси Сx’y’z’ перемещаются поступательно вместе с центром масс С системы (рис. 30), при этом оси Cx’y’z’ имеют ускорение , равное ускорению центра масс. Докажем, что теорема об изменении кинетического момента системы в выбранной неинерциальной системе координат будет иметь тот же вид, что и в неподвижной инерциальной системе координат.

Изучая динамику относительного движения, выяснили, что в инерциальных осях Cx’y’z’ все уравнения динамики можно составлять так же, как и неподвижных осях, если к действующим на каждую точку Aj системы силам > и  прибавить переносную силу инерции  и кориолисову силу инерции . В данном случае переносное движение осей Cx’y’z’ поступательное и , а . Уравнение (5) в осях Cx’y’z’ примет вид

>. (7)

Но по свойству внутренних сил >. По определению кинетического момента системы ,

где > — скорость  в подвижной системе Cx’y’z’.

Вычислим >.

Но точка С есть начало координатных осей Cx’y’z’. Поэтому > и . Тогда .

Теперь уравнение (7) примет вид

(8)

Сравнивая этот результат с уравнением (5), видим, что для осей, движущихся поступательно вместе центром масс системы, теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра сохраняет тот же вид, и неподвижного центра.

Пример 1. Груз В весом P1 поднимается при помощи ворота силой G (рис. 31). Вес барабана P2 радиус R, длина рукоятки ОА = l. Определить ускорение груза В. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.

Система состоит из груза, нити, барабана с рукояткой. На данную систему действуют внешние силы: > . По теореме об изменении кинетического момента системы

. Найдем . Заменим , получим . Дифференцируя , находим, что

. Но .

Тогда > откуда .

Порядок решения задач с помощью теоремы об изменении кинетического

момента системы

Направить одну из осей координат вдоль неподвижной оси вращения z.

Записать теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно соответствующей оси: >.

Изобразить на рисунке все внешние силы системы.

Вычислить главный момент внешних сил относительно неподвижной оси z

Вычислить кинетический момент системы относительно оси z, затем взять его производную по времени.

Подставить результаты пп.4 и 5 в п.2 затем, зависимости от условия, решить прямую либо обратную задачу динамики.

Последовательность решения задач с помощью закона сохранения

кинетического момента системы

Выбрать координатные оси, направив одну из них вдоль неподвижной оси вращения.

Записать теорему об изменении кинетического момента системы материальных точек относительно выбранной оси, например, >.

Изобразить на рисунке все внешние силы системы.

Показать, что сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси z равна нулю.

Вычислить и приравнять кинетические моменты системы материальных точек относительно оси z в начальный конечный момент времени: >.

Решить уравнение >, определить искомую величину.

Какие внешние нагрузки вызывают изгиб стержня ? 2.Назовите основные типы опор. Какие опорные реакции в них возникают ? 3.Какая балка называется статически определимой и статически неопределимой ? Назовите основные типы статически определимых балок. 4.Какие внутренние усилия возникают при изгибе стержня ? 5.Какими дифференциальными зависимостями связаны между собой внутренние усилия и распределенные нагрузки ? 6.Какие особенности имеют эпюры внутренних усилий при действии на стержень сосредоточенной силы, сосредоточенного момента, распределенной нагрузки ?

Ланшафтный дизайн

Информатика
Технологии
Гелиоэнергетика
Физика