Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Первый закон (закон инерции) Законы классической механики Колебательное движение точки Сопротивление среды Вынужденные колебания Теорема сложения ускорений Кинематические характеристики

Тема 2. Теорема сложения ускорений

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме двух ускорений: переносного и относительного, если переносное движение является поступательным.

Доказательство. Рассмотрим сложное движение точки М такое, при котором подвижная система движется только поступательно. Будем определять положение в подвижной системе вектором >; в неподвижной системе — вектором ; а начало подвижной системы О1 определим относительно неподвижных осей XYZ вектором  (рис. 15). Получим векторный треугольник, из которого видно, что

> (2)

или >. (3)

Из кинематики точки известно, что ускорение (вектор) определяется второй производной от радиуса-вектора по времени, поэтому продифференцируем полученное равенство (3) дважды учитывая, подвижная система движется только поступательно, т.е. векторы > не изменяются, получим

; (4)

. (5)

Рассмотрим полученное равенство (5):

,

так как > определяет положение точки в неподвижной системе;

,

так как подвижная система движется поступательно и ускорение точки О1 есть системы O1X1Y1Z1. И, наконец,

есть разложение вектора >, по подвижным осям, т.е. относительное ускорение.

Таким образом,

,

т.е. теорема доказана.

Вектор > определится по правилу параллелограмма (рис. 16):

или по проекциям на оси XYZ:

>; (8)

где

Направление найдем по направляющим косинусам:

>

Доказанная теорема справедлива только для поступательного переносного движения. Если переносное движение непоступательное, находить абсолютное ускорение по теореме сложения ускорений нельзя. В этом случае пользуются теоремой 2 — Кориолиса, доказанной им в 1836 г.

Теорема. При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова.

Доказательство. Докажем теорему для частного случая, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси.

 Итак, рассмотрим движение точки М относительно такой системы O1X1Y1Z1, которая вращается относительно некоторой оси O1P c угловой скоростью . Положение точки в подвижной системе определим вектором , в неподвижной — , и начало подвижной системы О1 относительно неподвижной определим вектором  (рис. 17). Получим векторный треугольник ОМО1, из которого , но

, поэтому , где х1; у1; z1 — координаты точки М в подвижной системе; i1; j1; k1 — орты этой системы.

Чтобы получить вектор >, продифференцируем дважды по времени последнее равенство:

.

Так как точка движется в подвижной системе, то ее координаты х1; у1; z1 есть функции времени, т. е. переменные величины, а орты >=1 при вращении системы X1;Y1;Z1 вокруг оси О1Р изменяют свое направление и, следовательно, тоже являются переменными величинами, поэтому берем производные сначала от координат х1; у1; z1, потом от орт .

Еще раз дифференцируем:

Здесь >,

— радиус-вектор точки M в неподвижной системе;

— разложение вектора по подвижным осям.

Далее

.

Эта группа представляет ускорение точки М в движении ее вместе с подвижной системой. Чтобы этом убедиться, проделаем следующее: мысленно остановим относительное точки, тогда точка будет участвовать только одном системой координат и переносное (при остановленном относительном движении) одновременно абсолютным ускорением, т. е. >, при неизменных х1; у1; z1.

Но

Выражения во второй и третьей скобках при этом обратятся в нули, так как > теперь постоянны. Точка в неподвижной системе не движется.

Осталось еще одно выражение, которое мы не определили:

.

Это будет по размерности вектор ускорения, он и называется ускорением Кориолиса. Итак,

>,  (9)

т.е. теорема доказана.

Вектор > в этом случае лучше определить по его проекциям на неподвижные оси XYZ :

>, (10)

где

Направление > найдем по направляющим косинусам.

Рассмотрим выражение (10), которое определило вектор >:

.

Здесь > — проекции скорости  на подвижные оси;

 — производные от единичных векторов  по времени.

Найдем эти производные. Для этого вспомним основную формулу кинематики — Эйлера, согласно которой линейную скорость точки вращающегося тела можно представить в виде векторного произведения угловой скорости вращения и радиуса-вектора данной точки, проведенного из какого-либо центра, лежащего на оси вращения, т.е. >.

Если векторы > рассмотреть как радиусы-векторы точек, лежащих на их концах, то соответственно производные от них по времени будут (как известно из кинематики точки) скоростями этих точек. Но в данный момент времени подвижная система и орты вместе с ней участвуют во вращательном движении вокруг оси O1P c угловой скоростью , и, следовательно, скорости точек, лежащих на концах , будут линейными скоростями, которые по формуле Эйлера можно представить так:

; ; .

Тогда 

>

где > — разложение вектора относительной скорости по подвижным осям;

>. (11)

Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений. 2.Как определяется положение центра тяжести сечения ? 3.Какие оси называются центральными осями ? 4.Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. 5.Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей? 6.Какие оси и какие моменты инерции называются главными ? 7.Напишите значения моментов инерции для простых сечений: прямоугольника, треугольника, круга, полукруга. 8.В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений ?
Основные законы динамики