Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Первый закон (закон инерции) Законы классической механики Колебательное движение точки Сопротивление среды Вынужденные колебания Теорема сложения ускорений Кинематические характеристики

Сопротивление среды увеличивает период свободных колебаний. Однако при > , , следовательно, малое сопротивление почти не влияет на период колебаний.

Найдем те моменты времени t1, t2,..., в которые точка получает максимальные отклонения x1, x2,..., xn от равновесного положения 0. В крайних положениях скорость точки М равна нулю:

. (9)

Откуда >ж

; . (10)

Так как > - многозначная функция с периодом p,

тогда >;

;

Получаем последовательность t1, t2, t3,…, которая является арифметической прогрессией с разностью >.

Таким образом, через одинаковые промежутки времени, равные >, скорость точки, прохода через 0, меняет знак, т.е. изменяет направление движение точки,

Найдем максимальные отклонения точки от равновесного положения x1, x2, x3,…. Для этого положим в равенстве >

t=t1;

;

;

; ;

Рассмотрим последовательность максимальных отклонений x1, x2, x3,…. Сравнивая x3,…, видим, что

1) в моменты t1, t2, t3,… точка находится по разные стороны от центра 0 (так как знаки x1, x2,… чередуются);

2) x1, x2, x3,… убывают по модулю закону убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

, называется декрементом затухающих колебаний.

Натуральный логарифм декремента называется логарифмическим декрементом >.

Вывод. Малое сопротивление вызывает постепенное затухание свободных колебаний вследствие убывания размахов но закону геометрической прогрессии.

Рассмотрели случай n<k. При n=k, n>k движение точки не будет колебательным, поэтому эти случаи рассматриваем.

При n=k > (z1=z2).

При n>k >.

Примером затухающих колебании являются колебания маятника, груза, подвешенного на упругой пружине, если они при своем движении встречают сопротивление воздуха.

Пример. Материальная точка совершает прямолинейные колебания под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления среды R=mV (рис. 28). В начальный момент x0=0, V0=1 м/с. Зная, что период колебаний Т1 = 2 с, а декремент затухания Д=, найти закон движения точки. Рис. 28

Составим схему сил, действующих на точку. Дифференциальное уравнение ее движения имеет вид >; , преобразовав, получим: ; , где ; .

3апишем решение уравнения

 (n<k),

найдем: >; ,

тогда >.

Вычислим n и k.

; ;

; ; n=ln2=0,6931.

Закон движения точки примет вид

, но ,

тогда закон затухающего колебания точки

.

Рассмотрим движение точки M под действием восстанавливающей силы > и некоторой силы , меняющейся по закону синуса или косинуса, называемой возмущающей силой Q=Hsinpt (рис. 29).

Составим схему сил и запишем |дифференциальное уравнение движения точки:

; ; ;

Рис. 29 >;

; . (13)

Обозначим >; .

Здесь H - амплитуда возмущающей силы;

P - угловая частота возмущающей силы;

c, m, H, p - постоянные величины.

Уравнение (13) является дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью. Его решение: x = x1 + x2.

Общее решение x складывается из общего решения однородного уравнения > и частного решения неоднородного уравнения , при pk.

Найдем A и B. >;.

Подставим значения >,  в уравнение (13):

,

откуда >; B=0,

тогда >.

Общее решение уравнения (13) таково:

. (15)

Из уравнения (15) видно, что движение данной точки складывается из собственных колебания (первое слагаемое) и вынужденных, обусловленных действием возмущающей силы Q (второе слагаемое), коэффициент при sinpt определяет амплитуду вынужденных колебаний >, где k - частота собственных колебаний, a р - частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. Период вынужденных колебаний тоже ранен периоду возмущающей силы .

Следует отметить, что амплитуда, период, частота вынужденных колебаний не зависят от начальных условий.

Если p=k, то частное решение уравнения (13) ищется в виде

.

Найдем A и B. Вычислим:

;

.

Подставим > и  в уравнение (13) после преобразования, получим

, откуда А=0;  и . (16)

Общее решение уравнения (13)

 (17)

Колебания точки представляют собой наложенные друг на друга два колебания - собственное и вынужденное. Уравнение вынужденных колебаний представлено равенством (16). Они сдвинуты по фазе > по отношению к возмущающей силе:

.

Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений. 2.Как определяется положение центра тяжести сечения ? 3.Какие оси называются центральными осями ? 4.Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. 5.Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей? 6.Какие оси и какие моменты инерции называются главными ? 7.Напишите значения моментов инерции для простых сечений: прямоугольника, треугольника, круга, полукруга. 8.В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений ?

Ланшафтный дизайн

Информатика
Технологии
Гелиоэнергетика
Физика