Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Первый закон (закон инерции) Законы классической механики Колебательное движение точки Сопротивление среды Вынужденные колебания Теорема сложения ускорений Кинематические характеристики

Затухающие и вынужденные колебания точки

Как уже видели, под действием восстанавливающей силы точка совершает гармоническое колебание, амплитуда которого постоянна. Однако на опыте с грузом, подвешенным к пружине, можно проследить, что амплитуда на самом деле не остается постоянной. Совершив некоторое число колебаний, груз остановится. Объясняется это явление действием сил сопротивления.

Рассмотрим, как влияет на колебание точки сила сопротивления среды. 

Пусть на материальную точку М массы m действуют Рис. 26

восстанавливающая сила F=cx и сопротивления среды (рис. 26) R=>mV (пропорциональная первой степени скорости при малых скоростях). Зная силы, действующие на точку М, определим закон ее движения. Имеем вторую основную задачу динамики. Чтобы ее решить, составим дифференциальное уравнение движения точки . Подставив значения F и R, имеем . Сделав соответствующие преобразования, приведем дифференциальное уравнение движения точки к виду .

Далее разделим его на массу m:

, обозначим

Здесь k - частота свободных колебаний;

n - коэффициент затухания.

Уравнение примет вид

. (1)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Чтобы записать его решение, составим характеристическое уравнение >. Корни его .

Могут быть три случая:

1) n<k - случай малого сопротивления;

2) n=k - критического сопротивления;

3) n>k - большого сопротивления

Рассмотрим только случай малого сопротивления n<k

При n<k >, где .

Общее решение дифференциального уравнения (1), являющееся законом движения точки М, имеет вид

. (2)

где C1, C2 - произвольные постоянные интегрирования, отыскиваются они по начальным условиям.

Пусть при t=0; >; .

Найден скорость точки М в любой момент времени:

. (3)

Подставив в равенства (2) и (З) t=0; >; , получим:

; . (4)

Заменим постоянные C1 и C2 через новые а >a по формулам: C1=asina; C2=acosa.

Уравнение (2) примет вид

. (5)

Новые постоянные а и >a определяются тоже по начальным условиям. Найдем скорость точки

. (6)

Решаем совместно равенства (5) н (6), задавая t=0; >; .

Найдем >; ,откуда

 (7)

Выясним характер движения точки М, исходя из закона точки, определяемого равенствами (2) и (5).

Движение, соответствующее уравнениям (2) и (5), носит колебательный характер, так как координата x периодически меняет свой знак с изменением знака, входящего в уравнения синуса. Отличаются эти от уравнений гармонического колебания множителем e-nt, постепенно убывающим. Следовательно, это движение можно рассматривать периодическое колебание с. постоянно уменьшающейся амплитудой, т.е. затухающее. Величина > называется частотой затухающих колебаний.

Максимальные модули величин последовательных отклонений точки от равновесного положения в одну и потом другую сторону назовем последовательными амплитудами колебаний точки. Графиком данного колебании является синусоида (рис. 27), вписанная о6ласть, ограниченная кривыми: > и .


Рис. 27

На графике видно, что величины последовательных амплитуд уменьшаются с течением времени, стремясь к нулю, т.е. затухают.

Колебания точки М не являются периодическими (см. рис. 27). Однако условно периодом затухающих колебаний принято называть промежуток времени Т1, равный периоду sin(k1t+>a), т.е. величину

. (8)

Промежуток времени между двумя последовательными отклонениями точка в одну и ту же сторону тоже оказывается (как увидим ниже) равным >.

Таким образом, под периодом затухающих колебаний и следует понимать время одного полного колебания точки или промежуток времени между двумя последовательными отклонениями в одну ту же сторону.

Сравним период затухающих колебаний > с периодом гармонических колебаний , так как k1< k, видим, что , т.e. T1> T, период затухающих колебаний больше периода, свободных гармонических колебаний.

Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений. 2.Как определяется положение центра тяжести сечения ? 3.Какие оси называются центральными осями ? 4.Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. 5.Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей? 6.Какие оси и какие моменты инерции называются главными ? 7.Напишите значения моментов инерции для простых сечений: прямоугольника, треугольника, круга, полукруга. 8.В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений ?
Основные законы динамики