Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Испытание на сжатие Испытание на кручение Испытание материалов на выносливость Расчет на жесткость Расчет на прочность Понятие о напряжениях Объёмные деформации

Обработка и предоставление результатов измерений

Физической величиной называют свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта. При этом индивидуальность в количественном отношении следует понимать в том смысле, что свойство может быть для одного объекта в определенное число раз больше или меньше, чем для другого.

Оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц определяет значение физической величины. Отвлеченное число, входящее в значение физической величины, называют числовым значением. За единицу физической величины принимают физическую величину, которой по определению присвоено числовое значение, равное 1. Значение физической величины находят путем измерения.

Любая физическая величина обладает истинным значением (для статических по своей природе величин это будет истинное среднее значение). Истинным значением физической величины называют значение, идеальным образом отражающее в качественном и количественном отношениях соответствующие свойства объекта.

Под измерением понимают нахождение значения физической величины экспериментальным путем при помощи специальных средств.

Виды измерений и погрешностей

Измерения могут быть как прямыми, когда искомую величину находят непосредственно из опытных данных, так и косвенными, когда искомую величину определят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями.

Значение величины, найденное измерением, называют результатом измерения.

Несовершенство измерительных приборов, органов чувств человека, а часто и природа самой измеряемой величины приводят к тому, что при любых измерениях результаты получают с определенной точностью, т.е. эксперимент дает не истинное значение измеряемой величины, а лишь ее приближенное значение. Под действительным значением физической величины понимают ее значение, найденное экспериментально и максимально приближающееся по своей величине к его истинному значению.

Точность измерения определяется близостью его значения к истинному значению измеряемой величины. Отсюда – погрешность измерения характеризуется отклонением результатов измерений от истинного значения измеряемой величины и подразделяется на следующие виды:

абсолютная погрешность – это алгебраическая разность между измеренным  и истинным  значениями измеряемой величины, выраженная в единицах измерения

 ; (4.1.)

относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности   к истинному значению  искомой величины, выраженное обычно в процентах

  или ; (4.2.)

приведенная относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к максимально возможному значению измеряемой величины или к максимальному значению шкалы прибора:

 ; (4.3.)

систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

По источнику происхождения систематические погрешности подразделяются на следующие виды:

  а) инструментальные погрешности – вносятся средствами измерения, вследствие недостатков в их конструкции, в неточностях градуировки шкал, использование в опыте неточных гирь, неточная установка начального положения стрелки рычажного тензометра или индикатора часового типа и др.;

 б) установочные погрешности – возникают из-за расположения средств измерения. Например, показания стрелочных весов чувствительны к отклонению от вертикали. Поэтому приборы высокой точности снабжаются уровнем;

  в) методические погрешности – связаны с упрощением расчетной формулы для измеряемой величины или с ограниченной точностью физических констант, входящих в формулу. Например, если мы используем значение плотности железа   = 7,8 г/см3, которое является округленным значением более точного – 7,83 г/см3, то при определении массы тела по плотности и его объему в результат войдет систематическая погрешность метода;

 г) погрешность вычислений – возникает вследствие приближенных вычислений; при округлении результатов вычислений; замене элементарных функций, входящих в расчетную формулу, их приближенными значениями; при интерполяции данных;

  д) внешние погрешности – возникают под влиянием внешних условий и среды (вибрация, тряска, магнитные и электрические помехи, влажность и давление воздуха, температура). Например, при изменении влажности изменяется модуль упругости дерева.

  е) личные или субъективные погрешности – вносятся наблюдателем и связаны с чувствительностью его органов чувств, утомлением.

Способы устранения систематических погрешностей:

 а) путем тщательной регулировки средств измерения и устранения внешних влияний с помощью термостатирования и т.д.;

 б) путем расчета систематической погрешности и введения поправки, т.е. величины, численно равной абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком. Поправку следует алгебраически добавить к неверному значению, чтобы исключить систематическую погрешность.

Следует помнить, что погрешность измерительного прибора равна обычно 0,5 наименьшего деления шкалы, поэтому не имеет смысла стараться на глаз оценивать десятые доли этого деления. Если же известен класс точности прибора, например, 1,5, то измеряемая величина  равна ± 1,5%, и пытаться измерить ее с большей точностью бессмысленно. Для уменьшения погрешности измерений в этом случае следует взять прибор более высокого класса точности.

Для перевода систематической погрешности в случайную, необходимо измерение организовать так, чтобы постоянный фактор, влияющий на результат измерения, в каждом из измерений действовал по разному. Этот способ называют рандомизацией. Например: использовать для измерения одной и той же величины несколько одинаковых приборов.

Случайная погрешность – составляющая погрешности, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. В отличие от систематических случайные погрешности исключить нельзя, т.к. их причины, в большинстве случаев, неизвестны. Их значения оценивают по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей.

Грубые погрешности (промахи) – это погрешности, существенно превышающие по модулю ожидаемую для данных измерений погрешность. Они возникают при неверной записи показаний, при неисправностях приборов и др. и должны быть исключены.

Операции с приближенными числами

При записи любого числа значащими цифрами являются 1, 2, ...,9. Нуль является значащей цифрой если он стоит в середине или конце числа, и – не значащей, если он стоит в десятичной дроби с левой стороны и указывает лишь разряд остальных чисел (цифр). 

Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры. Сомнительной называют цифру справа от верной, а все последующие за ней – неверные цифры, которые отбрасываются не только в результате, но и в исходных данных без округления числа. Например, в числе А = 0,0070350, ошибка которого равна  = ± 0,0003; цифра 7 – верная, 0 – сомнительная, обе они являются значащими цифрами, а остальные – незначащие. Тогда А = (7,0 ± 0,3)·10-3.

Погрешность конечного результата – находят по выражениям, рассматриваемым ниже, а для результатов промежуточных вычислений пользуются следующими правилами вычислений с приближенными числами:

а) сложение и вычитание понимают как алгебраическое сложение (с учетом знаков). Слагаемые записывают как без множителя 10, так и с ним. В последнем случае показатель степени должен быть одинаков для всех слагаемых.

 Разряд сомнительной цифры суммы при этом совпадает со старшим разрядом сомнительных цифр слагаемых. Например, сложить числа: 3,141·104; 2,6·102; -1,26·103, последние цифры в которых сомнительные; получают: (314,1 + 2,6 - 12,6) ·102= =304,1 ·102.

б) умножение и деление удобно выполнять, когда числа записаны с множителем 10. Результат содержит столько значащих цифр, сколько их в том исходном числе, которое содержит наименьшее их количество. Например, умножить числа 4311 и 0,056; получают: 4,31·103·5,6·10-2 = 2,4·102; разделить 92 на 0,354; получают: 9,2·101/3,54·10-1 = 2,6·102.

в) возведение в степень является умножением одинаковых сомножителей. В результирующем числе количество значащих цифр оставляют такое же, как и в основании степени. Например, (3,92·102)3= 6,02·106. Извлечение корня из приближенного числа проводят до тех пор, пока не сравняется число значащих цифр в результате и в подкоренном выражении. Например,  = 2,06.

г) при логарифмировании приближенного числа мантисса логарифма должна содержать то же количество значащих цифр, что и само число. Потенцирование, т.е. нахождение числа по его логарифму, подчиняется тем же правилам.

Основные правила округления чисел. При необходимости числа можно брать с различной точностью, т.е. оставлять в них различное количество десятичных знаков. Но при этом всегда полезно производить необходимые округления, чтобы не было впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результата. Чтобы не допустить дополнительной погрешности при округлении, отбрасывают только неверные цифры.

При округлении отбрасывают все цифры, стоящие справа от разряда, до которого производится округление; последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра равна или больше 5, или не изменяют, если эта цифра меньше 5. Если отбрасывают лишь цифру 5 (или за ней стоят нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная.

Для уменьшения погрешности округления при выполнении всех операций вычислений необходимо в исходных данных, если это возможно, оставлять на одну единицу больше, чем это требуют правила округления.

В экспериментальных данных последняя цифра всегда сомнительная. В числах, взятых из таблиц, содержатся всегда только верные цифры, и их погрешности не превышают половины единицы разряда последней цифры. Отсюда, при вычислениях с использованием тех и других чисел можно не сохранять сомнительную цифру.

Абсолютную погрешность результата следует округлять до одной значащей цифры (или до двух, если первая из них меньше или равна 3) (±0,05; ±0,37). Относительную погрешность принято округлять до двух значащих цифр (0,12; 2,8%).

Результат прямого или косвенного измерения принято округлять до числовых разрядов абсолютной погрешности измерения так, чтобы значения измеряемой величины и ее погрешности оканчивались одинаковыми десятичными разрядами. Например, неверная запись: 0,00526 ± 0,000121; 4003,314 ± 50,82; верная запись: (5,26 ± 0,12)·103; (4,00 ± 0,05) ·103.

Числовые характеристики случайных величин

Как показано в теории ошибок, из полученных при измерении величины   в  опытах ряда значений , наиболее близким к истинному значению  является среднее арифметическое значение

  (4.4)

Отклонения случайной величины  от ее среднего значения  рассматриваются как ошибки. Для их оценки используют понятие среднего квадратичного отклонения (СКО) случайной величины:

а) СКО отдельного измерения

  ; (4.5)

б) СКО среднего арифметического (результата измерения)

  

  (4.6)

Предельная ошибка  - это максимальное по абсолютной величине отклонений случайной величины  от ее среднего значения .

Доверительной вероятностью предельного отклонения называют вероятность , с которой ошибки отдельных измерений по абсолютной величине будут меньше предельной ошибки .

При этом, как известно, вероятность случайного события находится в интервале . Для экспериментальных задач в большинстве случаев, доверительная вероятность составляет =0,9 ÷ 0,95 и большая надежность не требуется. Интервал (;), в котором с заданной вероятностью  находится истинное значение , называют доверительным интервалом.

В экспериментальных исследованиях, как и в настоящем лабораторном практикуме, нередко используют результаты ограниченного числа измерений (обычно 3-х или 4-х измерений),  называемых выборкой.

Тогда предельную ошибку  определяют, используя корректный метод, основанный на распределении Стьюдента, по формуле

 . (4.7)

где   - параметр Стьюдента, определяемый при заданной вероятности  и числе опытов по таблице П.2 приложения;  - СКО отдельного измерения, вычисленное по формуле (4.5).

Вероятностный критерий грубых погрешностей

(промахов)

Пусть имеется () результатов наблюдений , где значение  резко выделяется. Задача заключается в том, чтобы выяснить, является ли это измерение промахом или оно может быть объяснено статистическим разбросом.

Сначала вычисляют для результатов  (выделяющееся наблюдение  исключают) среднее арифметическое значение  по формуле (4.4), СКО  по формуле (4.5) и рассчитывают отклонение () наблюдения

 . (4.8)

Затем находят предельное отклонение  наблюдений

 . (4.9)

где - параметр Стьюдента, взятый из таблицы П.3 приложения, для числа наблюдений  и заданной доверительной вероятности .

Если , то с вероятностью  наблюдение  считают промахом и отбрасывают. Если имеется несколько выделяющихся наблюдений, то вычисляют  и  без них, а затем по каждому из них проводят оценку по изложенной выше схеме.

Пример 1: Результаты пяти наблюдений прогиба балки , мм: 1,42; 1,63; 1,51; 1,68; 2,12.  Проверить, является ли наблюдение 

  = 2,12 мм промахом при доверительной вероятности  = 0,90.

Решение: а) по формулам (4.4) и (4.5) учитывая, что () = 5, вычисляют среднее арифметическое значение прогиба  и СКО :

б) по таблице П.3 приложения для четырех наблюдений = 4 при доверительной вероятности   = 0,90 находят параметр Стьюдента = 1,689. Затем по формуле (4.8) вычисляют отклонение наблюдения () = 5, т.е. «выскакивающего» наблюдения  = 2,12 мм:

;

в) по формуле (4.9) находят величину предельного отклонения (= 4) наблюдений:

.

Т.к. , то наблюдение   = 2,12 мм = 2,12·10-3м является промахом и его отбрасывают.

Обработка результатов наблюдений

для прямых измерений

Цель обработки – получить подходящее значение измеряемой величины и определить точность этой оценки, если результаты измерений равны , а не исключенные систематические погрешности определяются систематическими погрешностями средств измерений.

Вычисляют: а) по формуле (4.4) среднее арифметическое значение

.

Если среди результатов есть «выскакивающие», то выполняют проверку по критерию грубых погрешностей (см. раздел 4.5);

б) предел суммарной погрешности (предельную ошибку) при вероятности  по формуле

  (4.10)

где   - параметр Стьюдента, при вероятности  и числе опытов ;

   - систематическая погрешность средств измерения.

Пример 2: Результаты наблюдений в лабораторной работе № 3.5 прогиба балки , мм: 1,42; 1,63; 1,51; 1,68; 2,12. Требуется определить прогиб балки , полученный в опыте, и границы интервала, которые с вероятностью  = 0,90 накрывают суммарную погрешность измерений.

Систематическая погрешность  индикатора часового типа ИЧ-10, используемого при измерении прогиба, равна половине наименьшего деления шкалы, т.е.

Решение: а) «выскакивающее» наблюдение  = 2,12 мм проверяют по критерию грубых ошибок и отбрасывают, т.к. оно является промахом (см. Пример 1 в разделе 4.5.);

б) вычисляют по формуле (4.4) среднее арифметическое значение прогиба:

 

в) при числе опытов = 4 и доверительной вероятности  = 0,90 по таблице П.2 приложения находят значение параметра Стьюдента =2,35;

г) по формуле (4.10) вычисляют предельную погрешность измерений

.

В итоге получают результат измерения прогиба балки:

=  = 1,56·10-3м;  от –0,14·10-3м до 0,14·10-3м;  = 0,90.

При выполнении лабораторной работы сравнивают значение прогиба , найденное в опыте, с величиной прогиба , вычисленного по теоретической формуле, и вычисляют относительную погрешность опыта по формуле:

 . (4.11)

Полученные результаты анализируют и делают выводы, которые записывают в отчет по лабораторной работе.

Математическая обработка результатов

наблюдений при косвенных измерениях

При косвенных измерениях основная задача – нахождение искомой величины , которая является функцией одного или нескольких аргументов: . Непосредственно в опыте измеряются величины , ,, При наличии случайных погрешностей результаты измерений этих величин становятся случайными и  при этом будет функцией случайных аргументов.

Цель обработки – определить подходящее значение искомой функции   и интервал, в который с вероятностью   попадает суммарная погрешность измерений .

Вычисляют по формуле (4.4) среднее арифметическое значение каждого аргумента

   …. (4.12)

и среднее значение функции

  (4.13)

Существуют строгие методы оценки погрешности  искомой функции , которые целесообразно применять для ответственных измерений. В настоящей работе применяют приближенную оценку погрешности.

Оценка абсолютной погрешности  и относительной  погрешностей для различных частных случаев уравнений имеет вид:

   ; (4.14)

    (4.15)

    (4.16)

   (4.17)

    (4.18)

   . (4.19)

где   - абсолютные предельные погрешности измерения величин   - относительные погрешности измерения этих же величин.

Когда число измерений величин  в опытах не велико (2 – 4 измерения), то погрешности аргументов () вычисляют в соответствии с правилами обработки прямых измерений, изложенными в разделе 4.6. При этом значение доверительной вероятности  должно быть одним и тем же для всех аргументов.

Для приближенной оценки погрешности косвенного измерения при малом числе наблюдений допустимо применять для оценки точности измерений среднюю арифметическую погрешность, которую вычисляют по формуле:

  (4.20)

где   - абсолютные предельные погрешности измерения величин , вычисленные по методике, изложенной в разделе 4.6;   - число абсолютных погрешностей, определяемых в опыте.

Пример 3: При выполнении лабораторной работы 2.4 прямыми измерениями рычажным тензометром получены с учетом формулы (2.18) значения относительной поперечной   и относительной продольной  деформаций, величины и погрешности которых, вычисленные при доверительной вероятности  = 0,90 составили соответственно = (3,5 ± 0,02)·10-5 и  = (12 ± 0,06)·10-5. Определить значение коэффициента Пуассона  и суммарную погрешность изменения .

Решение: а) находят значение коэффициента Пуассона с учетом формулы (2.17):

б) вычисляют суммарную погрешность измерения  по формуле (4.16):

.

  Результаты измерения коэффициента Пуассона:

  = 0,29;  от –0,017 до 0,017;   = 0,90.

Твердость металлов и сплавов, требования, предъявляемые к измерению твёрдости, твердомеры для металлов, динамическое испытание твердости металлов и рациональный метод расчета твердости, усталость, актуальность проблемы повышения усталостной прочности, влияние различных факторов на величину предела усталости.
Содержание и задачи курса сопротивление материалов