Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Электротехника и электроника Закон Ома Второй закон Кирхгоф Расчет смешанной цепи с одной э.д.с. Векторная диаграмма Соединение фаз звездой Соединение фаз треугольником Асинхронный электродвигатель Полупроводниковые диоды

Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

li_03020.gif

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула XL = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула XC = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = XL - XC.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

(2.28)

lf_03009.gif.

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

(2.29)

φ = arctg((XL - XC) / R),

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

(2.30)

R = Z cos φ,

(2.31)

X = Z sin φ.

2.6. Мощности в цепях переменного тока

По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.

Элемент R (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

u(t) = Um sin(ωt + ψu),

i(t) = Im sin(ωt + ψi).

Известно, что для резистора ψu = ψi, тогда для р получим

(2.32)

p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin2(ωt + ψi).

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

(2.33)

lf_03010.gif.

Если записать Um и Im через действующие значения U и I: lf_03011.gif, lf_03012.gif, то получим

(2.34)

P = U I.

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Элемент L (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψu = ψi + 90°. Для мгновенной мощности имеет

(2.35)

lf_03013.gif.

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

lf_03014.gif.

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину QL равную максимальному значению рL

(2.36)

QL = (Um Im) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу UL = I XL получим

(2.37)

QL = I2 XL.

Элемент С (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψu = ψi - 90°. Для мгновенной мощности получаем

pC(t) = u(t) I(t) = (Um Im) / 2 · sin(2ωt).

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину QC = I2 XC, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

(2.37)

P = U I cos φ,

(2.38)

Q = QL - QC,

(2.39)

Q = U I sin φ,

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

(2.40)

lf_03015.gif.

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

(2.41)

S = U I.

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

2.7. Цепь с последовательным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

li_03021.jpg

Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.

1. Определение сопротивлений.

Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам

XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление цепи равно

lf_03009.gif,

угол сдвига фаз равен

(2.42)

φ = arctg((XL - XC) / R),

2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома

I = U / Z, ψi = ψu + φ.

Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.

3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам

UR = I R, ψuR = ψi ;

UL = I XL, ψuL = ψi + 90° ;

UC = I XC, ψuC = ψi - 90°.

Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.

Ú = ÚR + ÚL + ÚC.

4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL < XC; XL = XC.

Для варианта XL > XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).

li_03022.jpg

Для варианта XL < XC угол φ < 0, UL < UC. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.17).

li_03023.jpg

Для варианта XL = XC угол φ = 0, UL = UC. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление z=R наименьшее из всех возможных значений XL и XC. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.18).

li_03024.jpg

Этот режим называется резонанс напряжений (UL = UC). Напряжения на элементах UL и UC могут значительно превышать входное напряжение.

Пример.

U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L =  350 мГн, С =  28,9 мкФ.

XL = ωL = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;
XC = 1 / ωC = 1 / (2πf C) = 110 Ом;
Z = R = 22 Ом, φ=0, I = U / R = 220 / 22 = 10 А, ψu = ψi;
UL = UC = I XL = 10 · 110 = 1100 В.

В приведенном примере UL и UС превышают входное напряжение в 5 раз.

Сравнивая измеренные значения токов и напряжений в цепи с рассчитанными по законам Ома и Кирхгофа, мы убедились в том, что они реально действуют. Значения измеренных токов и напряжений в цепи отличаются от рассчитанных по причине неидеальности измерительных приборов, которые имеют свое собственное со-противление.
Активная мощность трехфазной системы