Задача 21
Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.
Решение
1 способ. Записываем уравнение колебания точки:
x = 0,05 cos p
t, т. к. w = 
= p.
Находим скорость в момент времени t:
υ =
= – 0,05 cos p t.
Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:
0,025 = 0,05 cos p t1,
отсюда cos pt1 = 
, pt1 = 
. Подставляем это значение в выражение для скорости:
υ
= – 0,05 p sin =
– 0,05 p 
= 0,136 м/c.
2 способ. Полная энергия колебательного движения:
E = 
,
где а – амплитуда, w – круговая частота, m – масса частицы.
В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки
Ek = 
, Eп = 
, но k = mw2, значит, Eп = 
.
Запишем закон сохранения энергии:
= + ,
отсюда получаем: a2w2 = υ 2 + w2x2,
υ
= w 
= p 
= 0,136 м/c.
Задача 22
Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10-5 Н?
Решение
Полная энергия точки, совершающей гармонические
колебания, равна: E = 
. (13)
Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:
F = k x (14)
В формулу (13) входят масса m и круговая частота w, а в (14) – коэффициент жесткости k. Но круговая частота связана с m и k:
w2 = 
,
отсюда k = mw2
и F = mw2x. Выразив mw2 из соотношения (13) получим: mw2 = 
, F = x.
Откуда и получаем выражение для смещения
x: x = 
.
Подстановка числовых значений дает:
x = 
= 1,5∙10-2 м = 1,5 см.
Задача 23
Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.
Решение
Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:
A = 
,
где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний, j1 и j2–начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит j2 – j1 = 0, а cos 0 = 1.
Следовательно:
A = 
=
= А1+А2 = 7 см.
Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:
cos(j 2 – j 1) = sin2(j 2 – j
1).
Так как по условию j2 – j1
= 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде: =0,
или 
=0,
или 
.
 |
Полученное
соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим
будет колебание точки на прямой MN. Амплитуда этого колебания определится как:
A = 
= 5 см.