Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Молекулярная физика и термодинамика Элементы квантовой статистики Электрические свойства кристаллов Элементы ядерной физики Атомная физика Закон радиоактивного распада Примеры решения задач физика

Распределение Максвелла по модулю скорости молекул

 Обозначим через dNv число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, тогда dNv/N – характеризует относительное число этих молекул. Принято вводить функцию распределения молекул по скоростям

.  (24)

 Максвелл показал, что эта функция имеет вид

.  (25)

 Функция  характеризует плотность вероятности того, что скорость молекулы равна v, и поэтому эта функция удовлетворяет условию нормировки

  (26)

Используя функцию распределения, можно найти относительное число молекул DN/N, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2

 (27) 

Анализ (24) показывает, что вид функции зависит от массы молекулы m0 и от температуры Т.

 На рис.4 представлен вид функции f(v) для двух температур. Характерно, что f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vВ и затем асимптотически стремится к нулю.

 Относительное число молекул dNV/ N , скорости которых лежат в интервале от v до v+dv находится как площадь dS заштрихованной полоски на рис. 4. Площади, ограниченные кривыми, согласно (26), одинаковы и равны единице.

 Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью vB. Исследование (24) на максимум позволило найти наиболее вероятную скорость молекул

 vB=. (28)

 Из формулы (28) следует, что при повышении температуры максимум f(v) сместится вправо, в сторону больших скоростей.

  Кроме наиболее вероятной и средней квадратичной скорости молекул газа, которые определяются по формулам (28) и (18), используется также средняя скорость молекул <v> или средняя арифметическая скорость. Она определяется по формуле

<v>= (29) 

 Подставляя f(v) [cм.(24)] и интегрируя , получим

 <v>=. (30)

 Итак существуют три формулы для определения скорости молекул газа: (18), (28), (30). Согласно этим формулам

 vB::<v> :<vKB>=::=1: 1,13 : 1,22. (31)

  Таким образом, средняя и средняя квадратичная скорости превышают наиболее вероятную скорость на 13 и 22 % соответственно, т.е. отличие не очень большое.

 Исходя из распределения молекул по скоростям (24), можно найти распределение молекул газа по кинетическим энергиям поступательного движения молекул Wк=m0v2/2. Это распределение характеризуется функцией f(Wк), которая вводится аналогично f(v)

 , 1/Дж (32)

Распределение Максвелла-Больцмана

  В 1866 г. Больцман (1844-1906 г.) вывел более общее распределение, включающее распределение Максвелла, которое называется распределением Максвелла-Больцмана 

  (33)

где - импульс частицы, в частности молекулы газа, - радиус-вектор, характеризующий положение частицы, p2/2m0=Wк – кинетическая энергия частицы,  - потенциальная энергия частицы.

 Распределение (33) можно записать в виде распределения по полной энергии Е частиц

 f(E)=Aexp(-E/kT),  (34) 

где E=Wк+Wп - полная энергия частицы.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

 Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом.

 Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторое расстояние l, которое называется длиной свободного пробега молекул.

 Эти расстояния могут быть самыми разными. Поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега молекул <l>.

  При вычислении <l> необходимо принять определенную модель газа. Будем считать, что молекулы представляют собой шарики некоторого диаметра d порядка 10-10 м, зависящего от природы газа.

 Двигаясь со средней скоростью <v>, молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся в цилиндре радиуса d.

 Среднее число столкновений <z>, которое испытает молекула с другими неподвижными молекулами за время Dt, будет равно числу молекул внутри цилиндра, диаметр которого 2d и длина <v>Dt, т.е. <z>=pd2<v>Dt×n, где n - концентрация молекул.

 Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

 <z>=pd2 <v>Dt×n. (36)

 Тогда средняя длина свободного пробега молекул

  <l>=<v>Dt/<z>=1/(pd2n), (37)

т.е. обратно пропорциональна концентрации молекул (или давлению P т. к., Р=nkT). Можно показать, что при нормальных условиях < l > ≈ 10-7 м и число столкновений за 1 секунду < z> /Dt≈1010 c-1.

7.1. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса. Ответ: 1) 3,5 кДж; 2) 2,5 кДж.
Лекции и задачи по физике