Художественная культура и искусство Курс лекций по истории искусства Теория машин и механизмов Математический анализ Электротехника и электроника Расчеты электрических цепей Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий
контрольной работы
Лекции и задачи по физике Компьютерная  безопасность Информационные системы Получение электрической энергии Атомная физика
Молекулярная физика и термодинамика Элементы квантовой статистики Электрические свойства кристаллов Элементы ядерной физики Атомная физика Закон радиоактивного распада Примеры решения задач физика

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Пусть в сосуде в виде куба со стороной l находится N молекул. Рассмотрим движение одной из молекул. Пусть молекула движется из центра куба в одном из 6 возможных направлений (рис.1) , например параллельно оси Х со скоростью v. Ударяясь о стенку А куба молекула оказывает на него давление (см. рис. 2). Найдем его. Согласно второму закону Ньютона сила давления , где . Предполагая, что происходит абсолютно упругий удар,  имеем v1=v2=v. Изменение импульса . Молекула

вернется в исходное состояние ( в центр куба) спустя время dt=(0.5l+0.5l)/v=l/v. В итоге получаем выражение для силы давления, оказываемого на стенку сосуда одной молекулой,

 . (10)

Если число молекул в сосуде N, то к cтенке А движется

в среднем N/6 молекул и они создают среднюю силу давления на стенку 

,  (11)

где <v 2> - cредний квадрат скорости молекул [cм. формулы (17), (18)].

 Давление, оказываемое на стенку сосуда, площадь которой S=l2,

  (12) 

 Учитывая, что N/l3=N/V=n, т.е. равно концентрации молекул, а также, что 

 (13)

-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа, получаем из (12) основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа . (14) Такое же давление производят молекулы на другие стенки сосуда, поскольку молекулы газа движутся хаотически и не имеют какого-либо преимущественного направления движения.

 Итак, согласно (14) давление на стенки сосуда определяется произведением концентрации молекул n на их среднюю кинетическую энергию поступательного движения <Wк>.

Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры Учитывая, что n=N/V=NA(m/M)/V, где V - объем газа, перепишем (14) в виде .  (15) 

С другой стороны согласно уравнению Клапейрона-Менделеева РV=(m/M)RT = (m/M)NAkT. Таким образом

.  (16)

Итак, термодинамическая температура с точностью до постоянного множителя (3/2)k равна средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Таково молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры. 

Учитывая, что , где

<v2>= (17)

средний квадрат скорости молекул газа, из (16) находим среднюю квадратичную скорость <vKB>=. (18)

Например, при t=27° C или T=300 K молекулы кислорода (М=32∙10-3 кг/моль) имеют скорость <vKB>=483 м/c. 

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе уравнения (14) предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы газа находятся в поле тяготения Земли, поэтому их концентрация с высотой уменьшается. Покажем это.

Рассмотрим газ в сосуде (см. рис. 3). Если атмосферное давление на высоте h равно Р, то на высоте h+dh оно равно Р+dP (при dh>0 dP<0, т.к. давление с высотой убывает). Разность давлений Р и Р+dP равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием 1 м2: Р -(Р+dP)=rgdh, где r - плотность газа. Следовательно, 

dP= -rgdh.  (19)

Воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева РV=RT , находим, что . Подставив это выражение в (19), получим

  или . (20)

Интегрируя (20) от h=0 до h находим, .Проведя потенцирование получим барометрическую формулу. , (21)

где m0=M/NA, k=R/NA.

 Эта формула была впервые установлена в 1821 г. Лапласом.

 Анализ барометрической формулы (21) показывает, что чем больше молярная масса М газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами.

 Следует иметь в виду, что применимость формулы (21) к реальной атмосфере несколько ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии, и ее температура меняется с высотой. Тем не менее, ее используют, определяя высоту по изменению давления.

 Формулу (21) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (9) Р=nkT 

 , (22)

где m0gh=Wп - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.е.

 . (23)

 Больцман доказал, что формула (21) справедлива в случае потенциального поля любой природы (т.е. не только поля тяготения). В связи с этим функцию (23) называют распределением Больцмана. 

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям

 В газе, находящемся в состоянии равновесия, установится некоторое стационарное (не меняющееся со временем) распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Такой закон был теоретически выведен Максвеллом в 1859 г. и был опубликован в 1860 г.

 При выводе этого закона Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что внешние поля на газ не действуют.

 Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Различают три формы записи распределения Максвелла. Мы изучим одну из них.

7.1. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса. Ответ: 1) 3,5 кДж; 2) 2,5 кДж.
Лекции и задачи по физике